미적분 예제

$y = 8 x^{2} {(1 - 3 x)}^{5}$

단계 1

$8$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $8 x^{2} {(1 - 3 x)}^{5}$ 의 미분은 $8 \frac{d}{d x} [x^{2} {(1 - 3 x)}^{5}]$ 입니다.

$8 \frac{d}{d x} [x^{2} {(1 - 3 x)}^{5}]$

단계 2

$f (x) = x^{2}$ , $g (x) = {(1 - 3 x)}^{5}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$8 (x^{2} \frac{d}{d x} [{(1 - 3 x)}^{5}] + {(1 - 3 x)}^{5} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

단계 3

$f (x) = x^{5}$ , $g (x) = 1 - 3 x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 3.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $1 - 3 x$ 로 바꿉니다.

$8 (x^{2} (\frac{d}{d u} [u^{5}] \frac{d}{d x} [1 - 3 x]) + {(1 - 3 x)}^{5} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

단계 3.2

$n = 5$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$8 (x^{2} (5 u^{4} \frac{d}{d x} [1 - 3 x]) + {(1 - 3 x)}^{5} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

단계 3.3

$u$ 를 모두 $1 - 3 x$ 로 바꿉니다.

$8 (x^{2} (5 {(1 - 3 x)}^{4} \frac{d}{d x} [1 - 3 x]) + {(1 - 3 x)}^{5} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

단계 4

미분합니다.

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단계 4.1

합의 법칙에 의해 $1 - 3 x$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 3 x]$ 가 됩니다.

$8 (x^{2} (5 {(1 - 3 x)}^{4} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 3 x])) + {(1 - 3 x)}^{5} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

단계 4.2

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$8 (x^{2} (5 {(1 - 3 x)}^{4} (0 + \frac{d}{d x} [- 3 x])) + {(1 - 3 x)}^{5} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

단계 4.3

$0$ 를 $\frac{d}{d x} [- 3 x]$ 에 더합니다.

$8 (x^{2} (5 {(1 - 3 x)}^{4} \frac{d}{d x} [- 3 x]) + {(1 - 3 x)}^{5} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

단계 4.4

$- 3$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 3 x$ 의 미분은 $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$8 (x^{2} (5 {(1 - 3 x)}^{4} (- 3 \frac{d}{d x} [x])) + {(1 - 3 x)}^{5} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

단계 4.5

$- 3$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$8 (x^{2} (- 15 {(1 - 3 x)}^{4} \frac{d}{d x} [x]) + {(1 - 3 x)}^{5} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

단계 4.6

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$8 (x^{2} (- 15 {(1 - 3 x)}^{4} \cdot 1) + {(1 - 3 x)}^{5} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

단계 4.7

$- 15$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$8 (x^{2} (- 15 {(1 - 3 x)}^{4}) + {(1 - 3 x)}^{5} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

단계 4.8

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$8 (x^{2} (- 15 {(1 - 3 x)}^{4}) + {(1 - 3 x)}^{5} (2 x))$

단계 4.9

${(1 - 3 x)}^{5}$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$8 (x^{2} (- 15 {(1 - 3 x)}^{4}) + 2 \cdot {(1 - 3 x)}^{5} x)$

단계 5

간단히 합니다.

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단계 5.1

분배 법칙을 적용합니다.

$8 (x^{2} (- 15 {(1 - 3 x)}^{4})) + 8 (2 {(1 - 3 x)}^{5} x)$

단계 5.2

$- 15$ 에 $8$ 을 곱합니다.

$- 120 (x^{2} ({(1 - 3 x)}^{4})) + 8 (2 {(1 - 3 x)}^{5} x)$

단계 5.3

$2$ 에 $8$ 을 곱합니다.

$- 120 x^{2} {(1 - 3 x)}^{4} + 16 ({(1 - 3 x)}^{5} x)$

단계 5.4

$- 120 x^{2} {(1 - 3 x)}^{4} + 16 {(1 - 3 x)}^{5} x$ 에서 $8 x {(1 - 3 x)}^{4}$ 를 인수분해합니다.

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단계 5.4.1

$- 120 x^{2} {(1 - 3 x)}^{4}$ 에서 $8 x {(1 - 3 x)}^{4}$ 를 인수분해합니다.

$8 x {(1 - 3 x)}^{4} (- 15 x) + 16 {(1 - 3 x)}^{5} x$

단계 5.4.2

$16 {(1 - 3 x)}^{5} x$ 에서 $8 x {(1 - 3 x)}^{4}$ 를 인수분해합니다.

$8 x {(1 - 3 x)}^{4} (- 15 x) + 8 x {(1 - 3 x)}^{4} (2 (1 - 3 x))$

단계 5.4.3

$8 x {(1 - 3 x)}^{4} (- 15 x) + 8 x {(1 - 3 x)}^{4} (2 (1 - 3 x))$ 에서 $8 x {(1 - 3 x)}^{4}$ 를 인수분해합니다.

$8 x {(1 - 3 x)}^{4} (- 15 x + 2 (1 - 3 x))$