미적분 예제

$\sqrt{\frac{z - 5}{z + 5}}$

단계 1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{\frac{z - 5}{z + 5}}$ 을(를) ${(\frac{z - 5}{z + 5})}^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$\frac{d}{d z} [{(\frac{z - 5}{z + 5})}^{\frac{1}{2}}]$

단계 2

$f (z) = z^{\frac{1}{2}}$ , $g (z) = \frac{z - 5}{z + 5}$ 일 때 $\frac{d}{d z} [f (g (z))]$ 는 $f' (g (z)) g' (z)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $\frac{z - 5}{z + 5}$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d z} [\frac{z - 5}{z + 5}]$

단계 2.2

$n = \frac{1}{2}$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d z} [\frac{z - 5}{z + 5}]$

단계 2.3

$u$ 를 모두 $\frac{z - 5}{z + 5}$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{2} {(\frac{z - 5}{z + 5})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d z} [\frac{z - 5}{z + 5}]$

단계 3

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2} {(\frac{z - 5}{z + 5})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d z} [\frac{z - 5}{z + 5}]$

단계 4

$- 1$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{2} {(\frac{z - 5}{z + 5})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d z} [\frac{z - 5}{z + 5}]$

단계 5

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{1}{2} {(\frac{z - 5}{z + 5})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d z} [\frac{z - 5}{z + 5}]$

단계 6

분자를 간단히 합니다.

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단계 6.1

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2} {(\frac{z - 5}{z + 5})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d z} [\frac{z - 5}{z + 5}]$

단계 6.2

$1$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$\frac{1}{2} {(\frac{z - 5}{z + 5})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d z} [\frac{z - 5}{z + 5}]$

단계 7

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{1}{2} {(\frac{z - 5}{z + 5})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d z} [\frac{z - 5}{z + 5}]$

단계 8

$f (z) = z - 5$ , $g (z) = z + 5$ 일 때 $\frac{d}{d z} [\frac{f (z)}{g (z)}]$ 는 $\frac{g (z) \frac{d}{d z} [f (z)] - f (z) \frac{d}{d z} [g (z)]}{{g (z)}^{2}}$ 이라는 몫의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{2} {(\frac{z - 5}{z + 5})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(z + 5) \frac{d}{d z} [z - 5] - (z - 5) \frac{d}{d z} [z + 5]}{{(z + 5)}^{2}}$

단계 9

미분합니다.

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단계 9.1

합의 법칙에 의해 $z - 5$ 를 $z$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d z} [z] + \frac{d}{d z} [- 5]$ 가 됩니다.

$\frac{1}{2} {(\frac{z - 5}{z + 5})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(z + 5) (\frac{d}{d z} [z] + \frac{d}{d z} [- 5]) - (z - 5) \frac{d}{d z} [z + 5]}{{(z + 5)}^{2}}$

단계 9.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ 는 $n z^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{2} {(\frac{z - 5}{z + 5})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(z + 5) (1 + \frac{d}{d z} [- 5]) - (z - 5) \frac{d}{d z} [z + 5]}{{(z + 5)}^{2}}$

단계 9.3

$- 5$ 이 $z$ 에 대해 일정하므로, $- 5$ 를 $z$ 에 대해 미분하면 $- 5$ 입니다.

$\frac{1}{2} {(\frac{z - 5}{z + 5})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(z + 5) (1 + 0) - (z - 5) \frac{d}{d z} [z + 5]}{{(z + 5)}^{2}}$

단계 9.4

식을 간단히 합니다.

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단계 9.4.1

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{1}{2} {(\frac{z - 5}{z + 5})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(z + 5) \cdot 1 - (z - 5) \frac{d}{d z} [z + 5]}{{(z + 5)}^{2}}$

단계 9.4.2

$z + 5$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2} {(\frac{z - 5}{z + 5})}^{- \frac{1}{2}} \frac{z + 5 - (z - 5) \frac{d}{d z} [z + 5]}{{(z + 5)}^{2}}$

단계 9.5

합의 법칙에 의해 $z + 5$ 를 $z$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d z} [z] + \frac{d}{d z} [5]$ 가 됩니다.

$\frac{1}{2} {(\frac{z - 5}{z + 5})}^{- \frac{1}{2}} \frac{z + 5 - (z - 5) (\frac{d}{d z} [z] + \frac{d}{d z} [5])}{{(z + 5)}^{2}}$

단계 9.6

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ 는 $n z^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{2} {(\frac{z - 5}{z + 5})}^{- \frac{1}{2}} \frac{z + 5 - (z - 5) (1 + \frac{d}{d z} [5])}{{(z + 5)}^{2}}$

단계 9.7

$5$ 이 $z$ 에 대해 일정하므로, $5$ 를 $z$ 에 대해 미분하면 $5$ 입니다.

$\frac{1}{2} {(\frac{z - 5}{z + 5})}^{- \frac{1}{2}} \frac{z + 5 - (z - 5) (1 + 0)}{{(z + 5)}^{2}}$

단계 9.8

분수를 통분합니다.

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단계 9.8.1

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{1}{2} {(\frac{z - 5}{z + 5})}^{- \frac{1}{2}} \frac{z + 5 - (z - 5) \cdot 1}{{(z + 5)}^{2}}$

단계 9.8.2

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2} {(\frac{z - 5}{z + 5})}^{- \frac{1}{2}} \frac{z + 5 - (z - 5)}{{(z + 5)}^{2}}$

단계 9.8.3

$\frac{z + 5 - (z - 5)}{{(z + 5)}^{2}}$ 에 $\frac{1}{2}$ 을 곱합니다.

$\frac{z + 5 - (z - 5)}{{(z + 5)}^{2} \cdot 2} {(\frac{z - 5}{z + 5})}^{- \frac{1}{2}}$

단계 9.8.4

${(z + 5)}^{2}$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$\frac{z + 5 - (z - 5)}{2 \cdot {(z + 5)}^{2}} {(\frac{z - 5}{z + 5})}^{- \frac{1}{2}}$

단계 10

간단히 합니다.

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단계 10.1

밑을 역수로 만들어 지수의 부호를 바꿉니다.

$\frac{z + 5 - (z - 5)}{2 {(z + 5)}^{2}} {(\frac{z + 5}{z - 5})}^{\frac{1}{2}}$

단계 10.2

$\frac{z + 5}{z - 5}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$\frac{z + 5 - (z - 5)}{2 {(z + 5)}^{2}} \cdot \frac{{(z + 5)}^{\frac{1}{2}}}{{(z - 5)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 10.3

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{z + 5 - z - - 5}{2 {(z + 5)}^{2}} \cdot \frac{{(z + 5)}^{\frac{1}{2}}}{{(z - 5)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 10.4

항을 묶습니다.

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단계 10.4.1

$- 1$ 에 $- 5$ 을 곱합니다.

$\frac{z + 5 - z + 5}{2 {(z + 5)}^{2}} \cdot \frac{{(z + 5)}^{\frac{1}{2}}}{{(z - 5)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 10.4.2

$z$ 에서 $z$ 을 뺍니다.

$\frac{0 + 5 + 5}{2 {(z + 5)}^{2}} \cdot \frac{{(z + 5)}^{\frac{1}{2}}}{{(z - 5)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 10.4.3

$0$ 를 $5$ 에 더합니다.

$\frac{5 + 5}{2 {(z + 5)}^{2}} \cdot \frac{{(z + 5)}^{\frac{1}{2}}}{{(z - 5)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 10.4.4

$5$ 를 $5$ 에 더합니다.

$\frac{10}{2 {(z + 5)}^{2}} \cdot \frac{{(z + 5)}^{\frac{1}{2}}}{{(z - 5)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 10.4.5

$10$ 및 $2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 10.4.5.1

$10$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 \cdot 5}{2 {(z + 5)}^{2}} \cdot \frac{{(z + 5)}^{\frac{1}{2}}}{{(z - 5)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 10.4.5.2

공약수로 약분합니다.

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단계 10.4.5.2.1

$2 {(z + 5)}^{2}$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 \cdot 5}{2 ({(z + 5)}^{2})} \cdot \frac{{(z + 5)}^{\frac{1}{2}}}{{(z - 5)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 10.4.5.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 \cdot 5}{2 {(z + 5)}^{2}} \cdot \frac{{(z + 5)}^{\frac{1}{2}}}{{(z - 5)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 10.4.5.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{5}{{(z + 5)}^{2}} \cdot \frac{{(z + 5)}^{\frac{1}{2}}}{{(z - 5)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 10.4.6

$\frac{5}{{(z + 5)}^{2}}$ 에 $\frac{{(z + 5)}^{\frac{1}{2}}}{{(z - 5)}^{\frac{1}{2}}}$ 을 곱합니다.

$\frac{5 {(z + 5)}^{\frac{1}{2}}}{{(z + 5)}^{2} {(z - 5)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 10.4.7

음의 지수 법칙 $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ 을 활용하여 ${(z + 5)}^{\frac{1}{2}}$ 를 분모로 이동합니다.

$\frac{5}{{(z + 5)}^{2} {(z - 5)}^{\frac{1}{2}} {(z + 5)}^{- \frac{1}{2}}}$

단계 10.4.8

지수를 더하여 ${(z + 5)}^{2}$ 에 ${(z + 5)}^{- \frac{1}{2}}$ 을 곱합니다.

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단계 10.4.8.1

${(z + 5)}^{- \frac{1}{2}}$ 를 옮깁니다.

$\frac{5}{{(z + 5)}^{- \frac{1}{2}} {(z + 5)}^{2} {(z - 5)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 10.4.8.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{5}{{(z + 5)}^{- \frac{1}{2} + 2} {(z - 5)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 10.4.8.3

공통 분모를 가지는 분수로 $2$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$\frac{5}{{(z + 5)}^{- \frac{1}{2} + 2 \cdot \frac{2}{2}} {(z - 5)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 10.4.8.4

$2$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{5}{{(z + 5)}^{- \frac{1}{2} + \frac{2 \cdot 2}{2}} {(z - 5)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 10.4.8.5

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{5}{{(z + 5)}^{\frac{- 1 + 2 \cdot 2}{2}} {(z - 5)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 10.4.8.6

분자를 간단히 합니다.

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단계 10.4.8.6.1

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{5}{{(z + 5)}^{\frac{- 1 + 4}{2}} {(z - 5)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 10.4.8.6.2

$- 1$ 를 $4$ 에 더합니다.

$\frac{5}{{(z + 5)}^{\frac{3}{2}} {(z - 5)}^{\frac{1}{2}}}$