미적분 예제

$x^{\frac{y}{z}}$

단계 1

$f = x$ , $g = \frac{y}{z}$ 일 때 $\frac{d}{d y} [f^{g}]$ 는 $f^{g} (f' \frac{g}{f} + g' \ln (f))$ 이라는 일반적인 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{d}{d y} [x] (\frac{y}{z} x^{\frac{y}{z} - 1}) + \frac{d}{d y} [\frac{y}{z}] (x^{\frac{y}{z}} \ln (x))$

단계 2

미분합니다.

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단계 2.1

$\frac{y}{z}$ 와 $x^{\frac{y}{z} - 1}$ 을 묶습니다.

$\frac{d}{d y} [x] \frac{y x^{\frac{y}{z} - 1}}{z} + \frac{d}{d y} [\frac{y}{z}] (x^{\frac{y}{z}} \ln (x))$

단계 2.2

$x$ 이 $y$ 에 대해 일정하므로, $x$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $x$ 입니다.

$0 \frac{y x^{\frac{y}{z} - 1}}{z} + \frac{d}{d y} [\frac{y}{z}] (x^{\frac{y}{z}} \ln (x))$

단계 2.3

식을 간단히 합니다.

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단계 2.3.1

$0$ 에 $\frac{y x^{\frac{y}{z} - 1}}{z}$ 을 곱합니다.

$0 + \frac{d}{d y} [\frac{y}{z}] (x^{\frac{y}{z}} \ln (x))$

단계 2.3.2

$0$ 를 $\frac{d}{d y} [\frac{y}{z}] (x^{\frac{y}{z}} \ln (x))$ 에 더합니다.

$\frac{d}{d y} [\frac{y}{z}] (x^{\frac{y}{z}} \ln (x))$

단계 2.4

$\frac{1}{z}$ 은 $y$ 에 대해 일정하므로 $y$ 에 대한 $\frac{y}{z}$ 의 미분은 $\frac{1}{z} \frac{d}{d y} [y]$ 입니다.

$\frac{1}{z} \frac{d}{d y} [y] (x^{\frac{y}{z}} \ln (x))$

단계 2.5

분수를 통분합니다.

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단계 2.5.1

$x^{\frac{y}{z}}$ 와 $\frac{1}{z}$ 을 묶습니다.

$\frac{x^{\frac{y}{z}}}{z} \frac{d}{d y} [y] \ln (x)$

단계 2.5.2

$\ln (x)$ 와 $\frac{x^{\frac{y}{z}}}{z}$ 을 묶습니다.

$\frac{\ln (x) x^{\frac{y}{z}}}{z} \frac{d}{d y} [y]$

단계 2.6

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 는 $n y^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{\ln (x) x^{\frac{y}{z}}}{z} \cdot 1$

단계 2.7

식을 간단히 합니다.

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단계 2.7.1

$\frac{\ln (x) x^{\frac{y}{z}}}{z}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{\ln (x) x^{\frac{y}{z}}}{z}$

단계 2.7.2

$\ln (x) x^{\frac{y}{z}}$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$\frac{x^{\frac{y}{z}} \ln (x)}{z}$