미적분 예제

$e^{x y^{2}} + \ln (y + z)$

단계 1

합의 법칙에 의해 $e^{x y^{2}} + \ln (y + z)$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d y} [e^{x y^{2}}] + \frac{d}{d y} [\ln (y + z)]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d y} [e^{x y^{2}}] + \frac{d}{d y} [\ln (y + z)]$

단계 2

$\frac{d}{d y} [e^{x y^{2}}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 2.1

$f (y) = e^{y}$ , $g (y) = x y^{2}$ 일 때 $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ 는 $f' (g (y)) g' (y)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{1}$ 를 $x y^{2}$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d y} [x y^{2}] + \frac{d}{d y} [\ln (y + z)]$

단계 2.1.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ 은 $a^{u_{1}} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$e^{u_{1}} \frac{d}{d y} [x y^{2}] + \frac{d}{d y} [\ln (y + z)]$

단계 2.1.3

$u_{1}$ 를 모두 $x y^{2}$ 로 바꿉니다.

$e^{x y^{2}} \frac{d}{d y} [x y^{2}] + \frac{d}{d y} [\ln (y + z)]$

단계 2.2

$x$ 은 $y$ 에 대해 일정하므로 $y$ 에 대한 $x y^{2}$ 의 미분은 $x \frac{d}{d y} [y^{2}]$ 입니다.

$e^{x y^{2}} (x \frac{d}{d y} [y^{2}]) + \frac{d}{d y} [\ln (y + z)]$

단계 2.3

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 는 $n y^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$e^{x y^{2}} (x (2 y)) + \frac{d}{d y} [\ln (y + z)]$

단계 2.4

$x$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$e^{x y^{2}} (2 x y) + \frac{d}{d y} [\ln (y + z)]$

단계 3

$\frac{d}{d y} [\ln (y + z)]$ 의 값을 구합니다.

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단계 3.1

$f (y) = \ln (y)$ , $g (y) = y + z$ 일 때 $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ 는 $f' (g (y)) g' (y)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 3.1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{2}$ 를 $y + z$ 로 바꿉니다.

$e^{x y^{2}} (2 x y) + \frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d y} [y + z]$

단계 3.1.2

$\ln (u_{2})$ 를 $u_{2}$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{u_{2}}$ 입니다.

$e^{x y^{2}} (2 x y) + \frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d y} [y + z]$

단계 3.1.3

$u_{2}$ 를 모두 $y + z$ 로 바꿉니다.

$e^{x y^{2}} (2 x y) + \frac{1}{y + z} \frac{d}{d y} [y + z]$

단계 3.2

합의 법칙에 의해 $y + z$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [z]$ 가 됩니다.

$e^{x y^{2}} (2 x y) + \frac{1}{y + z} (\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [z])$

단계 3.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 는 $n y^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$e^{x y^{2}} (2 x y) + \frac{1}{y + z} (1 + \frac{d}{d y} [z])$

단계 3.4

$z$ 이 $y$ 에 대해 일정하므로, $z$ 를 $y$ 에 대해 미분하면 $z$ 입니다.

$e^{x y^{2}} (2 x y) + \frac{1}{y + z} (1 + 0)$

단계 3.5

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$e^{x y^{2}} (2 x y) + \frac{1}{y + z} \cdot 1$

단계 3.6

$\frac{1}{y + z}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$e^{x y^{2}} (2 x y) + \frac{1}{y + z}$

단계 4

간단히 합니다.

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단계 4.1

항을 묶습니다.

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단계 4.1.1

공통 분모를 가지는 분수로 $e^{x y^{2}} (2 x y)$ 을 표현하기 위해 $\frac{y + z}{y + z}$ 을 곱합니다.

$\frac{e^{x y^{2}} (2 x y) (y + z)}{y + z} + \frac{1}{y + z}$

단계 4.1.2

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{e^{x y^{2}} (2 x y) (y + z) + 1}{y + z}$

단계 4.2

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{2 e^{x y^{2}} x y (y + z) + 1}{y + z}$