미적분 예제

$y = x \arctan (2 x) - \frac{1}{4} \cdot \ln (1 + 4 x^{2})$

단계 1

합의 법칙에 의해 $x \arctan (2 x) - \frac{1}{4} \cdot \ln (1 + 4 x^{2})$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x \arctan (2 x)] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{4} \cdot \ln (1 + 4 x^{2})]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [x \arctan (2 x)] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{4} \cdot \ln (1 + 4 x^{2})]$

단계 2

$\frac{d}{d x} [x \arctan (2 x)]$ 의 값을 구합니다.

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단계 2.1

$f (x) = x$ , $g (x) = \arctan (2 x)$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x \frac{d}{d x} [\arctan (2 x)] + \arctan (2 x) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{4} \cdot \ln (1 + 4 x^{2})]$

단계 2.2

$f (x) = \arctan (x)$ , $g (x) = 2 x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{1}$ 를 $2 x$ 로 바꿉니다.

$x (\frac{d}{d u_{1}} [\arctan (u_{1})] \frac{d}{d x} [2 x]) + \arctan (2 x) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{4} \cdot \ln (1 + 4 x^{2})]$

단계 2.2.2

$\arctan (u_{1})$ 를 $u_{1}$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{1 + {u_{1}}^{2}}$ 입니다.

$x (\frac{1}{1 + {u_{1}}^{2}} \frac{d}{d x} [2 x]) + \arctan (2 x) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{4} \cdot \ln (1 + 4 x^{2})]$

단계 2.2.3

$u_{1}$ 를 모두 $2 x$ 로 바꿉니다.

$x (\frac{1}{1 + {(2 x)}^{2}} \frac{d}{d x} [2 x]) + \arctan (2 x) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{4} \cdot \ln (1 + 4 x^{2})]$

단계 2.3

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 x$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$x (\frac{1}{1 + {(2 x)}^{2}} (2 \frac{d}{d x} [x])) + \arctan (2 x) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{4} \cdot \ln (1 + 4 x^{2})]$

단계 2.4

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x (\frac{1}{1 + {(2 x)}^{2}} (2 \cdot 1)) + \arctan (2 x) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{4} \cdot \ln (1 + 4 x^{2})]$

단계 2.5

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x (\frac{1}{1 + {(2 x)}^{2}} (2 \cdot 1)) + \arctan (2 x) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{4} \cdot \ln (1 + 4 x^{2})]$

단계 2.6

$2 x$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$x (\frac{1}{1 + {(2 (x))}^{2}} (2 \cdot 1)) + \arctan (2 x) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{4} \cdot \ln (1 + 4 x^{2})]$

단계 2.7

$2 (x)$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$x (\frac{1}{1 + 2^{2} x^{2}} (2 \cdot 1)) + \arctan (2 x) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{4} \cdot \ln (1 + 4 x^{2})]$

단계 2.8

$2$ 를 $2$ 승 합니다.

$x (\frac{1}{1 + 4 x^{2}} (2 \cdot 1)) + \arctan (2 x) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{4} \cdot \ln (1 + 4 x^{2})]$

단계 2.9

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$x (\frac{1}{1 + 4 x^{2}} \cdot 2) + \arctan (2 x) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{4} \cdot \ln (1 + 4 x^{2})]$

단계 2.10

$\frac{1}{1 + 4 x^{2}}$ 와 $2$ 을 묶습니다.

$x \frac{2}{1 + 4 x^{2}} + \arctan (2 x) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{4} \cdot \ln (1 + 4 x^{2})]$

단계 2.11

$x$ 와 $\frac{2}{1 + 4 x^{2}}$ 을 묶습니다.

$\frac{x \cdot 2}{1 + 4 x^{2}} + \arctan (2 x) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{4} \cdot \ln (1 + 4 x^{2})]$

단계 2.12

$x$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$\frac{2 \cdot x}{1 + 4 x^{2}} + \arctan (2 x) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{4} \cdot \ln (1 + 4 x^{2})]$

단계 2.13

$\arctan (2 x)$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{2 x}{1 + 4 x^{2}} + \arctan (2 x) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{4} \cdot \ln (1 + 4 x^{2})]$

단계 2.14

공통 분모를 가지는 분수로 $\arctan (2 x)$ 을 표현하기 위해 $\frac{1 + 4 x^{2}}{1 + 4 x^{2}}$ 을 곱합니다.

$\frac{2 x}{1 + 4 x^{2}} + \frac{\arctan (2 x) (1 + 4 x^{2})}{1 + 4 x^{2}} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{4} \cdot \ln (1 + 4 x^{2})]$

단계 2.15

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{2 x + \arctan (2 x) (1 + 4 x^{2})}{1 + 4 x^{2}} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{4} \cdot \ln (1 + 4 x^{2})]$

단계 3

$\frac{d}{d x} [- \frac{1}{4} \cdot \ln (1 + 4 x^{2})]$ 의 값을 구합니다.

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단계 3.1

$- \frac{1}{4}$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- \frac{1}{4} \cdot \ln (1 + 4 x^{2})$ 의 미분은 $- \frac{1}{4} \frac{d}{d x} [\ln (1 + 4 x^{2})]$ 입니다.

$\frac{2 x + \arctan (2 x) (1 + 4 x^{2})}{1 + 4 x^{2}} - \frac{1}{4} \frac{d}{d x} [\ln (1 + 4 x^{2})]$

단계 3.2

$f (x) = \ln (x)$ , $g (x) = 1 + 4 x^{2}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 3.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{2}$ 를 $1 + 4 x^{2}$ 로 바꿉니다.

$\frac{2 x + \arctan (2 x) (1 + 4 x^{2})}{1 + 4 x^{2}} - \frac{1}{4} (\frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d x} [1 + 4 x^{2}])$

단계 3.2.2

$\ln (u_{2})$ 를 $u_{2}$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{u_{2}}$ 입니다.

$\frac{2 x + \arctan (2 x) (1 + 4 x^{2})}{1 + 4 x^{2}} - \frac{1}{4} (\frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d x} [1 + 4 x^{2}])$

단계 3.2.3

$u_{2}$ 를 모두 $1 + 4 x^{2}$ 로 바꿉니다.

$\frac{2 x + \arctan (2 x) (1 + 4 x^{2})}{1 + 4 x^{2}} - \frac{1}{4} (\frac{1}{1 + 4 x^{2}} \frac{d}{d x} [1 + 4 x^{2}])$

단계 3.3

합의 법칙에 의해 $1 + 4 x^{2}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}]$ 가 됩니다.

$\frac{2 x + \arctan (2 x) (1 + 4 x^{2})}{1 + 4 x^{2}} - \frac{1}{4} (\frac{1}{1 + 4 x^{2}} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}]))$

단계 3.4

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$\frac{2 x + \arctan (2 x) (1 + 4 x^{2})}{1 + 4 x^{2}} - \frac{1}{4} (\frac{1}{1 + 4 x^{2}} (0 + \frac{d}{d x} [4 x^{2}]))$

단계 3.5

$4$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $4 x^{2}$ 의 미분은 $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$\frac{2 x + \arctan (2 x) (1 + 4 x^{2})}{1 + 4 x^{2}} - \frac{1}{4} (\frac{1}{1 + 4 x^{2}} (0 + 4 \frac{d}{d x} [x^{2}]))$

단계 3.6

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{2 x + \arctan (2 x) (1 + 4 x^{2})}{1 + 4 x^{2}} - \frac{1}{4} (\frac{1}{1 + 4 x^{2}} (0 + 4 (2 x)))$

단계 3.7

$2$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$\frac{2 x + \arctan (2 x) (1 + 4 x^{2})}{1 + 4 x^{2}} - \frac{1}{4} (\frac{1}{1 + 4 x^{2}} (0 + 8 x))$

단계 3.8

$0$ 를 $8 x$ 에 더합니다.

$\frac{2 x + \arctan (2 x) (1 + 4 x^{2})}{1 + 4 x^{2}} - \frac{1}{4} (\frac{1}{1 + 4 x^{2}} (8 x))$

단계 3.9

$8$ 와 $\frac{1}{1 + 4 x^{2}}$ 을 묶습니다.

$\frac{2 x + \arctan (2 x) (1 + 4 x^{2})}{1 + 4 x^{2}} - \frac{1}{4} (\frac{8}{1 + 4 x^{2}} x)$

단계 3.10

$\frac{8}{1 + 4 x^{2}}$ 와 $x$ 을 묶습니다.

$\frac{2 x + \arctan (2 x) (1 + 4 x^{2})}{1 + 4 x^{2}} - \frac{1}{4} \cdot \frac{8 x}{1 + 4 x^{2}}$

단계 3.11

$\frac{8 x}{1 + 4 x^{2}}$ 에 $\frac{1}{4}$ 을 곱합니다.

$\frac{2 x + \arctan (2 x) (1 + 4 x^{2})}{1 + 4 x^{2}} - \frac{8 x}{(1 + 4 x^{2}) \cdot 4}$

단계 3.12

$1 + 4 x^{2}$ 의 왼쪽으로 $4$ 이동하기

$\frac{2 x + \arctan (2 x) (1 + 4 x^{2})}{1 + 4 x^{2}} - \frac{8 x}{4 \cdot (1 + 4 x^{2})}$

단계 3.13

$8$ 및 $4$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 3.13.1

$8 x$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 x + \arctan (2 x) (1 + 4 x^{2})}{1 + 4 x^{2}} - \frac{4 (2 x)}{4 (1 + 4 x^{2})}$

단계 3.13.2

공약수로 약분합니다.

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단계 3.13.2.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 x + \arctan (2 x) (1 + 4 x^{2})}{1 + 4 x^{2}} - \frac{4 (2 x)}{4 (1 + 4 x^{2})}$

단계 3.13.2.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{2 x + \arctan (2 x) (1 + 4 x^{2})}{1 + 4 x^{2}} - \frac{2 x}{1 + 4 x^{2}}$

단계 4

간단히 합니다.

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단계 4.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{2 x + \arctan (2 x) \cdot 1 + \arctan (2 x) (4 x^{2})}{1 + 4 x^{2}} - \frac{2 x}{1 + 4 x^{2}}$

단계 4.2

항을 묶습니다.

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단계 4.2.1

$\arctan (2 x)$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{2 x + \arctan (2 x) + \arctan (2 x) (4 x^{2})}{1 + 4 x^{2}} - \frac{2 x}{1 + 4 x^{2}}$

단계 4.2.2

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{2 x + \arctan (2 x) + \arctan (2 x) (4 x^{2}) - 2 x}{1 + 4 x^{2}}$

단계 4.2.3

$2 x$ 에서 $2 x$ 을 뺍니다.

$\frac{\arctan (2 x) + \arctan (2 x) (4 x^{2}) + 0}{1 + 4 x^{2}}$

단계 4.2.4

$\arctan (2 x) + \arctan (2 x) (4 x^{2})$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{\arctan (2 x) + \arctan (2 x) (4 x^{2})}{1 + 4 x^{2}}$

단계 4.3

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{4 x^{2} \arctan (2 x) + \arctan (2 x)}{4 x^{2} + 1}$

단계 4.4

$4 x^{2} \arctan (2 x) + \arctan (2 x)$ 에서 $\arctan (2 x)$ 를 인수분해합니다.

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단계 4.4.1

$4 x^{2} \arctan (2 x)$ 에서 $\arctan (2 x)$ 를 인수분해합니다.

$\frac{\arctan (2 x) (4 x^{2}) + \arctan (2 x)}{4 x^{2} + 1}$

단계 4.4.2

$1$ 을 곱합니다.

$\frac{\arctan (2 x) (4 x^{2}) + \arctan (2 x) \cdot 1}{4 x^{2} + 1}$

단계 4.4.3

$\arctan (2 x) (4 x^{2}) + \arctan (2 x) \cdot 1$ 에서 $\arctan (2 x)$ 를 인수분해합니다.

$\frac{\arctan (2 x) (4 x^{2} + 1)}{4 x^{2} + 1}$

단계 4.5

$4 x^{2} + 1$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 4.5.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{\arctan (2 x) (4 x^{2} + 1)}{4 x^{2} + 1}$

단계 4.5.2

$\arctan (2 x)$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\arctan (2 x)$