미적분 예제

$y = x - 4 \ln (3 x - 9)$

단계 1

미분합니다.

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단계 1.1

합의 법칙에 의해 $x - 4 \ln (3 x - 9)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4 \ln (3 x - 9)]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4 \ln (3 x - 9)]$

단계 1.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$1 + \frac{d}{d x} [- 4 \ln (3 x - 9)]$

단계 2

$\frac{d}{d x} [- 4 \ln (3 x - 9)]$ 의 값을 구합니다.

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단계 2.1

$- 4$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 4 \ln (3 x - 9)$ 의 미분은 $- 4 \frac{d}{d x} [\ln (3 x - 9)]$ 입니다.

$1 - 4 \frac{d}{d x} [\ln (3 x - 9)]$

단계 2.2

$f (x) = \ln (x)$ , $g (x) = 3 x - 9$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $3 x - 9$ 로 바꿉니다.

$1 - 4 (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [3 x - 9])$

단계 2.2.2

$\ln (u)$ 를 $u$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{u}$ 입니다.

$1 - 4 (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [3 x - 9])$

단계 2.2.3

$u$ 를 모두 $3 x - 9$ 로 바꿉니다.

$1 - 4 (\frac{1}{3 x - 9} \frac{d}{d x} [3 x - 9])$

단계 2.3

합의 법칙에 의해 $3 x - 9$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 9]$ 가 됩니다.

$1 - 4 (\frac{1}{3 x - 9} (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 9]))$

단계 2.4

$3$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $3 x$ 의 미분은 $3 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$1 - 4 (\frac{1}{3 x - 9} (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 9]))$

단계 2.5

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$1 - 4 (\frac{1}{3 x - 9} (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 9]))$

단계 2.6

$- 9$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 9$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 9$ 입니다.

$1 - 4 (\frac{1}{3 x - 9} (3 \cdot 1 + 0))$

단계 2.7

$3$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$1 - 4 (\frac{1}{3 x - 9} (3 + 0))$

단계 2.8

$3$ 를 $0$ 에 더합니다.

$1 - 4 (\frac{1}{3 x - 9} \cdot 3)$

단계 2.9

$\frac{1}{3 x - 9}$ 와 $3$ 을 묶습니다.

$1 - 4 \frac{3}{3 x - 9}$

단계 2.10

$3$ 및 $3 x - 9$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 2.10.1

$3$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$1 - 4 \frac{3 \cdot 1}{3 x - 9}$

단계 2.10.2

공약수로 약분합니다.

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단계 2.10.2.1

$3 x$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$1 - 4 \frac{3 \cdot 1}{3 (x) - 9}$

단계 2.10.2.2

$- 9$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$1 - 4 \frac{3 \cdot 1}{3 (x) + 3 (- 3)}$

단계 2.10.2.3

$3 (x) + 3 (- 3)$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$1 - 4 \frac{3 \cdot 1}{3 (x - 3)}$

단계 2.10.2.4

공약수로 약분합니다.

$1 - 4 \frac{3 \cdot 1}{3 (x - 3)}$

단계 2.10.2.5

수식을 다시 씁니다.

$1 - 4 \frac{1}{x - 3}$

단계 2.11

$- 4$ 와 $\frac{1}{x - 3}$ 을 묶습니다.

$1 + \frac{- 4}{x - 3}$

단계 2.12

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$1 - \frac{4}{x - 3}$

단계 3

항을 묶습니다.

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단계 3.1

$1$ 을(를) 공통분모가 있는 분수로 표현합니다.

$\frac{x - 3}{x - 3} - \frac{4}{x - 3}$

단계 3.2

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{x - 3 - 4}{x - 3}$

단계 3.3

$- 3$ 에서 $4$ 을 뺍니다.

$\frac{x - 7}{x - 3}$