미적분 예제

$\frac{x^{2}}{x^{2} + 5}$

단계 1

$x^{2}$ 을 $x^{2} + 5$ 로 나눕니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

다항식을 나눗셈 형태로 적습니다. 각 지수에 대하여 항이 없는 경우 값이 $0$ 인 항을 삽입합니다.

$x^{2}$

$0 x$

$5$

$x^{2}$

$0 x$

$0$

단계 1.2

피제수 $x^{2}$ 의 고차항을 제수 $x^{2}$ 의 고차항으로 나눕니다.

							$1$
	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$5$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$

단계 1.3

새로운 몫 값에 제수를 곱합니다.

						$1$
$x^{2}$	+	$0 x$	+	$5$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
					+	$x^{2}$	+	$0$	+	$5$

단계 1.4

식을 피제수에서 빼야 하므로 $x^{2} + 0 + 5$ 의 모든 부호를 바꿉니다.

						$1$
$x^{2}$	+	$0 x$	+	$5$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
					-	$x^{2}$	-	$0$	-	$5$

단계 1.5

부호를 바꾼 뒤, 곱한 다항식의 마지막 피제수를 더해 새로운 피제수를 구합니다.

						$1$
$x^{2}$	+	$0 x$	+	$5$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
					-	$x^{2}$	-	$0$	-	$5$
									-	$5$

단계 1.6

최종 답은 몫에 제수 분의 나머지를 더한 값입니다.

$\int 1 - \frac{5}{x^{2} + 5} d x$

단계 2

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$\int d x + \int - \frac{5}{x^{2} + 5} d x$

단계 3

상수 규칙을 적용합니다.

$x + C + \int - \frac{5}{x^{2} + 5} d x$

단계 4

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$x + C - \int \frac{5}{x^{2} + 5} d x$

단계 5

$5$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $5$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$x + C - (5 \int \frac{1}{x^{2} + 5} d x)$

단계 6

식을 간단히 합니다.

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단계 6.1

$5$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$x + C - 5 \int \frac{1}{x^{2} + 5} d x$

단계 6.2

$x^{2}$ 와 $5$ 을 다시 정렬합니다.

$x + C - 5 \int \frac{1}{5 + x^{2}} d x$

단계 7

$5$ 을 ${\sqrt{5}}^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$x + C - 5 \int \frac{1}{{\sqrt{5}}^{2} + x^{2}} d x$

단계 8

$\frac{1}{{\sqrt{5}}^{2} + x^{2}}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{\sqrt{5}} \arctan (\frac{x}{\sqrt{5}}) + C$ 입니다.

$x + C - 5 (\frac{1}{\sqrt{5}} \arctan (\frac{x}{\sqrt{5}}) + C)$

단계 9

간단히 합니다.

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단계 9.1

$\frac{1}{\sqrt{5}}$ 와 $\arctan (\frac{x}{\sqrt{5}})$ 을 묶습니다.

$x + C - 5 (\frac{\arctan (\frac{x}{\sqrt{5}})}{\sqrt{5}} + C)$

단계 9.2

간단히 합니다.

$x - 5 \frac{\arctan (\frac{x \sqrt{5}}{5})}{\sqrt{5}} + C$

단계 9.3

간단히 합니다.

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단계 9.3.1

$- 5$ 와 $\frac{\arctan (\frac{x \sqrt{5}}{5})}{\sqrt{5}}$ 을 묶습니다.

$x + \frac{- 5 \arctan (\frac{x \sqrt{5}}{5})}{\sqrt{5}} + C$

단계 9.3.2

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$x - \frac{5 \arctan (\frac{x \sqrt{5}}{5})}{\sqrt{5}} + C$

단계 10

항을 다시 정렬합니다.

$x - \frac{5}{\sqrt{5}} \arctan (\frac{\sqrt{5}}{5} x) + C$