미적분 예제

$t {(2 t + 1)}^{2}$

단계 1

해당 도함수는 연쇄법칙을 사용하여 풀 수 없습니다. Mathway에서 다른 방법을 사용합니다.

단계 2

${(2 t + 1)}^{2}$ 을 $(2 t + 1) (2 t + 1)$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{d}{d t} [t ((2 t + 1) (2 t + 1))]$

단계 3

FOIL 계산법을 이용하여 $(2 t + 1) (2 t + 1)$ 를 전개합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{d}{d t} [t (2 t (2 t + 1) + 1 (2 t + 1))]$

단계 3.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{d}{d t} [t (2 t (2 t) + 2 t \cdot 1 + 1 (2 t + 1))]$

단계 3.3

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{d}{d t} [t (2 t (2 t) + 2 t \cdot 1 + 1 (2 t) + 1 \cdot 1)]$

단계 4

동류항끼리 묶고 식을 간단히 합니다.

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단계 4.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 4.1.1

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$\frac{d}{d t} [t (2 \cdot 2 t \cdot t + 2 t \cdot 1 + 1 (2 t) + 1 \cdot 1)]$

단계 4.1.2

지수를 더하여 $t$ 에 $t$ 을 곱합니다.

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단계 4.1.2.1

$t$ 를 옮깁니다.

$\frac{d}{d t} [t (2 \cdot 2 (t \cdot t) + 2 t \cdot 1 + 1 (2 t) + 1 \cdot 1)]$

단계 4.1.2.2

$t$ 에 $t$ 을 곱합니다.

$\frac{d}{d t} [t (2 \cdot 2 t^{2} + 2 t \cdot 1 + 1 (2 t) + 1 \cdot 1)]$

단계 4.1.3

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{d}{d t} [t (4 t^{2} + 2 t \cdot 1 + 1 (2 t) + 1 \cdot 1)]$

단계 4.1.4

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{d}{d t} [t (4 t^{2} + 2 t + 1 (2 t) + 1 \cdot 1)]$

단계 4.1.5

$2 t$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{d}{d t} [t (4 t^{2} + 2 t + 2 t + 1 \cdot 1)]$

단계 4.1.6

$1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{d}{d t} [t (4 t^{2} + 2 t + 2 t + 1)]$

단계 4.2

$2 t$ 를 $2 t$ 에 더합니다.

$\frac{d}{d t} [t (4 t^{2} + 4 t + 1)]$

단계 5

$f (t) = t$ , $g (t) = 4 t^{2} + 4 t + 1$ 일 때 $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ 는 $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$t \frac{d}{d t} [4 t^{2} + 4 t + 1] + (4 t^{2} + 4 t + 1) \frac{d}{d t} [t]$

단계 6

미분합니다.

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단계 6.1

합의 법칙에 의해 $4 t^{2} + 4 t + 1$ 를 $t$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d t} [4 t^{2}] + \frac{d}{d t} [4 t] + \frac{d}{d t} [1]$ 가 됩니다.

$t (\frac{d}{d t} [4 t^{2}] + \frac{d}{d t} [4 t] + \frac{d}{d t} [1]) + (4 t^{2} + 4 t + 1) \frac{d}{d t} [t]$

단계 6.2

$4$ 은 $t$ 에 대해 일정하므로 $t$ 에 대한 $4 t^{2}$ 의 미분은 $4 \frac{d}{d t} [t^{2}]$ 입니다.

$t (4 \frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [4 t] + \frac{d}{d t} [1]) + (4 t^{2} + 4 t + 1) \frac{d}{d t} [t]$

단계 6.3

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 는 $n t^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$t (4 (2 t) + \frac{d}{d t} [4 t] + \frac{d}{d t} [1]) + (4 t^{2} + 4 t + 1) \frac{d}{d t} [t]$

단계 6.4

$2$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$t (8 t + \frac{d}{d t} [4 t] + \frac{d}{d t} [1]) + (4 t^{2} + 4 t + 1) \frac{d}{d t} [t]$

단계 6.5

$4$ 은 $t$ 에 대해 일정하므로 $t$ 에 대한 $4 t$ 의 미분은 $4 \frac{d}{d t} [t]$ 입니다.

$t (8 t + 4 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [1]) + (4 t^{2} + 4 t + 1) \frac{d}{d t} [t]$

단계 6.6

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 는 $n t^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$t (8 t + 4 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [1]) + (4 t^{2} + 4 t + 1) \frac{d}{d t} [t]$

단계 6.7

$4$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$t (8 t + 4 + \frac{d}{d t} [1]) + (4 t^{2} + 4 t + 1) \frac{d}{d t} [t]$

단계 6.8

$1$ 이 $t$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $t$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$t (8 t + 4 + 0) + (4 t^{2} + 4 t + 1) \frac{d}{d t} [t]$

단계 6.9

$8 t + 4$ 를 $0$ 에 더합니다.

$t (8 t + 4) + (4 t^{2} + 4 t + 1) \frac{d}{d t} [t]$

단계 6.10

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 는 $n t^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$t (8 t + 4) + (4 t^{2} + 4 t + 1) \cdot 1$

단계 6.11

$4 t^{2} + 4 t + 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$t (8 t + 4) + 4 t^{2} + 4 t + 1$

단계 7

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1

분배 법칙을 적용합니다.

$t (8 t) + t \cdot 4 + 4 t^{2} + 4 t + 1$

단계 7.2

항을 묶습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.1

$t$ 를 $1$ 승 합니다.

$8 (t^{1} t) + t \cdot 4 + 4 t^{2} + 4 t + 1$

단계 7.2.2

$t$ 를 $1$ 승 합니다.

$8 (t^{1} t^{1}) + t \cdot 4 + 4 t^{2} + 4 t + 1$

단계 7.2.3

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$8 t^{1 + 1} + t \cdot 4 + 4 t^{2} + 4 t + 1$

단계 7.2.4

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$8 t^{2} + t \cdot 4 + 4 t^{2} + 4 t + 1$

단계 7.2.5

$t$ 의 왼쪽으로 $4$ 이동하기

$8 t^{2} + 4 \cdot t + 4 t^{2} + 4 t + 1$

단계 7.2.6

$8 t^{2}$ 를 $4 t^{2}$ 에 더합니다.

$12 t^{2} + 4 t + 4 t + 1$

단계 7.2.7

$4 t$ 를 $4 t$ 에 더합니다.

$12 t^{2} + 8 t + 1$