미적분 예제

$r = \frac{1}{3 s^{2}} - \frac{5}{2 s}$

단계 1

방정식의 양변을 미분합니다.

$\frac{d}{d s} (r) = \frac{d}{d s} (\frac{1}{3 s^{2}} - \frac{5}{2 s})$

단계 2

$r$ 를 $s$ 에 대해 미분하면 $r'$ 입니다.

$r'$

단계 3

방정식의 우변을 미분합니다.

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단계 3.1

합의 법칙에 의해 $\frac{1}{3 s^{2}} - \frac{5}{2 s}$ 를 $s$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d s} [\frac{1}{3 s^{2}}] + \frac{d}{d s} [- \frac{5}{2 s}]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d s} [\frac{1}{3 s^{2}}] + \frac{d}{d s} [- \frac{5}{2 s}]$

단계 3.2

$\frac{d}{d s} [\frac{1}{3 s^{2}}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 3.2.1

$\frac{1}{3}$ 은 $s$ 에 대해 일정하므로 $s$ 에 대한 $\frac{1}{3 s^{2}}$ 의 미분은 $\frac{1}{3} \frac{d}{d s} [\frac{1}{s^{2}}]$ 입니다.

$\frac{1}{3} \frac{d}{d s} [\frac{1}{s^{2}}] + \frac{d}{d s} [- \frac{5}{2 s}]$

단계 3.2.2

$\frac{1}{s^{2}}$ 을 ${(s^{2})}^{- 1}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{1}{3} \frac{d}{d s} [{(s^{2})}^{- 1}] + \frac{d}{d s} [- \frac{5}{2 s}]$

단계 3.2.3

$f (s) = s^{- 1}$ , $g (s) = s^{2}$ 일 때 $\frac{d}{d s} [f (g (s))]$ 는 $f' (g (s)) g' (s)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 3.2.3.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $s^{2}$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{3} (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d s} [s^{2}]) + \frac{d}{d s} [- \frac{5}{2 s}]$

단계 3.2.3.2

$n = - 1$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{3} (- u^{- 2} \frac{d}{d s} [s^{2}]) + \frac{d}{d s} [- \frac{5}{2 s}]$

단계 3.2.3.3

$u$ 를 모두 $s^{2}$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{3} (- {(s^{2})}^{- 2} \frac{d}{d s} [s^{2}]) + \frac{d}{d s} [- \frac{5}{2 s}]$

단계 3.2.4

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d s} [s^{n}]$ 는 $n s^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{3} (- {(s^{2})}^{- 2} (2 s)) + \frac{d}{d s} [- \frac{5}{2 s}]$

단계 3.2.5

${(s^{2})}^{- 2}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 3.2.5.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\frac{1}{3} (- s^{2 \cdot - 2} (2 s)) + \frac{d}{d s} [- \frac{5}{2 s}]$

단계 3.2.5.2

$2$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{3} (- s^{- 4} (2 s)) + \frac{d}{d s} [- \frac{5}{2 s}]$

단계 3.2.6

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{3} (- 2 s^{- 4} s) + \frac{d}{d s} [- \frac{5}{2 s}]$

단계 3.2.7

$s$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{1}{3} (- 2 (s^{1} s^{- 4})) + \frac{d}{d s} [- \frac{5}{2 s}]$

단계 3.2.8

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{1}{3} (- 2 s^{1 - 4}) + \frac{d}{d s} [- \frac{5}{2 s}]$

단계 3.2.9

$1$ 에서 $4$ 을 뺍니다.

$\frac{1}{3} (- 2 s^{- 3}) + \frac{d}{d s} [- \frac{5}{2 s}]$

단계 3.2.10

$- 2$ 와 $\frac{1}{3}$ 을 묶습니다.

$\frac{- 2}{3} s^{- 3} + \frac{d}{d s} [- \frac{5}{2 s}]$

단계 3.2.11

$\frac{- 2}{3}$ 와 $s^{- 3}$ 을 묶습니다.

$\frac{- 2 s^{- 3}}{3} + \frac{d}{d s} [- \frac{5}{2 s}]$

단계 3.2.12

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 $s^{- 3}$ 를 분모로 이동합니다.

$\frac{- 2}{3 s^{3}} + \frac{d}{d s} [- \frac{5}{2 s}]$

단계 3.2.13

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{2}{3 s^{3}} + \frac{d}{d s} [- \frac{5}{2 s}]$

단계 3.3

$\frac{d}{d s} [- \frac{5}{2 s}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 3.3.1

$- \frac{5}{2}$ 은 $s$ 에 대해 일정하므로 $s$ 에 대한 $- \frac{5}{2 s}$ 의 미분은 $- \frac{5}{2} \frac{d}{d s} [\frac{1}{s}]$ 입니다.

$- \frac{2}{3 s^{3}} - \frac{5}{2} \frac{d}{d s} [\frac{1}{s}]$

단계 3.3.2

$\frac{1}{s}$ 을 $s^{- 1}$ 로 바꿔 씁니다.

$- \frac{2}{3 s^{3}} - \frac{5}{2} \frac{d}{d s} [s^{- 1}]$

단계 3.3.3

$n = - 1$ 일 때 $\frac{d}{d s} [s^{n}]$ 는 $n s^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- \frac{2}{3 s^{3}} - \frac{5}{2} (- s^{- 2})$

단계 3.3.4

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$- \frac{2}{3 s^{3}} + 1 (\frac{5}{2}) s^{- 2}$

단계 3.3.5

$\frac{5}{2}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- \frac{2}{3 s^{3}} + \frac{5}{2} s^{- 2}$

단계 3.3.6

$\frac{5}{2}$ 와 $s^{- 2}$ 을 묶습니다.

$- \frac{2}{3 s^{3}} + \frac{5 s^{- 2}}{2}$

단계 3.3.7

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 $s^{- 2}$ 를 분모로 이동합니다.

$- \frac{2}{3 s^{3}} + \frac{5}{2 s^{2}}$

단계 3.4

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{5}{2 s^{2}} - \frac{2}{3 s^{3}}$

단계 4

좌변이 우변과 같도록 방정식을 고칩니다.

$r' = \frac{5}{2 s^{2}} - \frac{2}{3 s^{3}}$

단계 5

$r'$ 에 $\frac{d r}{d s}$ 를 대입합니다.

$\frac{d r}{d s} = \frac{5}{2 s^{2}} - \frac{2}{3 s^{3}}$