미적분 예제

$h (x) = 7 x^{2} (6 x + 5^{2})$

단계 1

$f (x) = 7 x^{2}$ , $g (x) = 6 x + 5^{2}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$7 x^{2} \frac{d}{d x} [6 x + 5^{2}] + (6 x + 5^{2}) \frac{d}{d x} [7 x^{2}]$

단계 2

합의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.1

$5$ 를 $2$ 승 합니다.

$7 x^{2} \frac{d}{d x} [6 x + 25] + (6 x + 5^{2}) \frac{d}{d x} [7 x^{2}]$

단계 2.2

합의 법칙에 의해 $6 x + 25$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [25]$ 가 됩니다.

$7 x^{2} (\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [25]) + (6 x + 5^{2}) \frac{d}{d x} [7 x^{2}]$

단계 3

$\frac{d}{d x} [6 x]$ 의 값을 구합니다.

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단계 3.1

$6$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $6 x$ 의 미분은 $6 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$7 x^{2} (6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [25]) + (6 x + 5^{2}) \frac{d}{d x} [7 x^{2}]$

단계 3.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$7 x^{2} (6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [25]) + (6 x + 5^{2}) \frac{d}{d x} [7 x^{2}]$

단계 3.3

$6$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$7 x^{2} (6 + \frac{d}{d x} [25]) + (6 x + 5^{2}) \frac{d}{d x} [7 x^{2}]$

단계 4

미분합니다.

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단계 4.1

$25$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $25$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $25$ 입니다.

$7 x^{2} (6 + 0) + (6 x + 5^{2}) \frac{d}{d x} [7 x^{2}]$

단계 4.2

$6$ 를 $0$ 에 더합니다.

$7 x^{2} \cdot 6 + (6 x + 5^{2}) \frac{d}{d x} [7 x^{2}]$

단계 4.3

$7$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $7 x^{2}$ 의 미분은 $7 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$7 x^{2} \cdot 6 + (6 x + 5^{2}) (7 \frac{d}{d x} [x^{2}])$

단계 4.4

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$7 x^{2} \cdot 6 + (6 x + 5^{2}) (7 (2 x))$

단계 4.5

$2$ 에 $7$ 을 곱합니다.

$7 x^{2} \cdot 6 + (6 x + 5^{2}) (14 x)$

단계 5

간단히 합니다.

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단계 5.1

분배 법칙을 적용합니다.

$7 x^{2} \cdot 6 + 6 x (14 x) + 5^{2} (14 x)$

단계 5.2

항을 묶습니다.

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단계 5.2.1

$6$ 에 $7$ 을 곱합니다.

$42 x^{2} + 6 x (14 x) + 5^{2} (14 x)$

단계 5.2.2

$14$ 에 $6$ 을 곱합니다.

$42 x^{2} + 84 x \cdot x + 5^{2} (14 x)$

단계 5.2.3

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$42 x^{2} + 84 (x^{1} x) + 5^{2} (14 x)$

단계 5.2.4

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$42 x^{2} + 84 (x^{1} x^{1}) + 5^{2} (14 x)$

단계 5.2.5

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$42 x^{2} + 84 x^{1 + 1} + 5^{2} (14 x)$

단계 5.2.6

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$42 x^{2} + 84 x^{2} + 5^{2} (14 x)$

단계 5.2.7

$5$ 를 $2$ 승 합니다.

$42 x^{2} + 84 x^{2} + 25 (14 x)$

단계 5.2.8

$14$ 에 $25$ 을 곱합니다.

$42 x^{2} + 84 x^{2} + 350 x$

단계 5.2.9

$42 x^{2}$ 를 $84 x^{2}$ 에 더합니다.

$126 x^{2} + 350 x$