미적분 예제

$f (x) = \frac{5 x - 7}{x^{2} - 2}$

단계 1

$f (x) = 5 x - 7$ , $g (x) = x^{2} - 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 는 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ 이라는 몫의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{(x^{2} - 2) \frac{d}{d x} [5 x - 7] - (5 x - 7) \frac{d}{d x} [x^{2} - 2]}{{(x^{2} - 2)}^{2}}$

단계 2

합의 법칙에 의해 $5 x - 7$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 7]$ 가 됩니다.

$\frac{(x^{2} - 2) (\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 7]) - (5 x - 7) \frac{d}{d x} [x^{2} - 2]}{{(x^{2} - 2)}^{2}}$

단계 3

$\frac{d}{d x} [5 x]$ 의 값을 구합니다.

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단계 3.1

$5$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $5 x$ 의 미분은 $5 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$\frac{(x^{2} - 2) (5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 7]) - (5 x - 7) \frac{d}{d x} [x^{2} - 2]}{{(x^{2} - 2)}^{2}}$

단계 3.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{(x^{2} - 2) (5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 7]) - (5 x - 7) \frac{d}{d x} [x^{2} - 2]}{{(x^{2} - 2)}^{2}}$

단계 3.3

$5$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{(x^{2} - 2) (5 + \frac{d}{d x} [- 7]) - (5 x - 7) \frac{d}{d x} [x^{2} - 2]}{{(x^{2} - 2)}^{2}}$

단계 4

미분합니다.

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단계 4.1

$- 7$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 7$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 7$ 입니다.

$\frac{(x^{2} - 2) (5 + 0) - (5 x - 7) \frac{d}{d x} [x^{2} - 2]}{{(x^{2} - 2)}^{2}}$

단계 4.2

$5$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{(x^{2} - 2) \cdot 5 - (5 x - 7) \frac{d}{d x} [x^{2} - 2]}{{(x^{2} - 2)}^{2}}$

단계 4.3

합의 법칙에 의해 $x^{2} - 2$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2]$ 가 됩니다.

$\frac{(x^{2} - 2) \cdot 5 - (5 x - 7) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2])}{{(x^{2} - 2)}^{2}}$

단계 4.4

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{(x^{2} - 2) \cdot 5 - (5 x - 7) (2 x + \frac{d}{d x} [- 2])}{{(x^{2} - 2)}^{2}}$

단계 4.5

$- 2$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 2$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 2$ 입니다.

$\frac{(x^{2} - 2) \cdot 5 - (5 x - 7) (2 x + 0)}{{(x^{2} - 2)}^{2}}$

단계 4.6

$2 x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{(x^{2} - 2) \cdot 5 - (5 x - 7) (2 x)}{{(x^{2} - 2)}^{2}}$

단계 5

간단히 합니다.

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단계 5.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{x^{2} \cdot 5 - 2 \cdot 5 - (5 x - 7) (2 x)}{{(x^{2} - 2)}^{2}}$

단계 5.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{x^{2} \cdot 5 - 2 \cdot 5 + (- (5 x) - - 7) (2 x)}{{(x^{2} - 2)}^{2}}$

단계 5.3

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{x^{2} \cdot 5 - 2 \cdot 5 - (5 x) (2 x) - - 7 (2 x)}{{(x^{2} - 2)}^{2}}$

단계 5.4

분자를 간단히 합니다.

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단계 5.4.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 5.4.1.1

$x^{2}$ 의 왼쪽으로 $5$ 이동하기

$\frac{5 \cdot x^{2} - 2 \cdot 5 - (5 x) (2 x) - - 7 (2 x)}{{(x^{2} - 2)}^{2}}$

단계 5.4.1.2

$- 2$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$\frac{5 x^{2} - 10 - (5 x) (2 x) - - 7 (2 x)}{{(x^{2} - 2)}^{2}}$

단계 5.4.1.3

지수를 더하여 $x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

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단계 5.4.1.3.1

$x$ 를 옮깁니다.

$\frac{5 x^{2} - 10 - (5 (x \cdot x)) \cdot 2 - - 7 (2 x)}{{(x^{2} - 2)}^{2}}$

단계 5.4.1.3.2

$x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

$\frac{5 x^{2} - 10 - (5 x^{2}) \cdot 2 - - 7 (2 x)}{{(x^{2} - 2)}^{2}}$

단계 5.4.1.4

$5$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{5 x^{2} - 10 - 5 x^{2} \cdot 2 - - 7 (2 x)}{{(x^{2} - 2)}^{2}}$

단계 5.4.1.5

$2$ 에 $- 5$ 을 곱합니다.

$\frac{5 x^{2} - 10 - 10 x^{2} - - 7 (2 x)}{{(x^{2} - 2)}^{2}}$

단계 5.4.1.6

$- 1$ 에 $- 7$ 을 곱합니다.

$\frac{5 x^{2} - 10 - 10 x^{2} + 7 (2 x)}{{(x^{2} - 2)}^{2}}$

단계 5.4.1.7

$2$ 에 $7$ 을 곱합니다.

$\frac{5 x^{2} - 10 - 10 x^{2} + 14 x}{{(x^{2} - 2)}^{2}}$

단계 5.4.2

$5 x^{2}$ 에서 $10 x^{2}$ 을 뺍니다.

$\frac{- 5 x^{2} - 10 + 14 x}{{(x^{2} - 2)}^{2}}$

단계 5.5

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{- 5 x^{2} + 14 x - 10}{{(x^{2} - 2)}^{2}}$

단계 5.6

$- 5 x^{2}$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{- (5 x^{2}) + 14 x - 10}{{(x^{2} - 2)}^{2}}$

단계 5.7

$14 x$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{- (5 x^{2}) - (- 14 x) - 10}{{(x^{2} - 2)}^{2}}$

단계 5.8

$- (5 x^{2}) - (- 14 x)$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{- (5 x^{2} - 14 x) - 10}{{(x^{2} - 2)}^{2}}$

단계 5.9

$- 10$ 을 $- 1 (10)$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{- (5 x^{2} - 14 x) - 1 (10)}{{(x^{2} - 2)}^{2}}$

단계 5.10

$- (5 x^{2} - 14 x) - 1 (10)$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{- (5 x^{2} - 14 x + 10)}{{(x^{2} - 2)}^{2}}$

단계 5.11

$- (5 x^{2} - 14 x + 10)$ 을 $- 1 (5 x^{2} - 14 x + 10)$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{- 1 (5 x^{2} - 14 x + 10)}{{(x^{2} - 2)}^{2}}$

단계 5.12

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{5 x^{2} - 14 x + 10}{{(x^{2} - 2)}^{2}}$