미적분 예제

$\frac{1}{4 s^{3}} - \frac{5}{2 s}$

단계 1

합의 법칙에 의해 $\frac{1}{4 s^{3}} - \frac{5}{2 s}$ 를 $s$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d s} [\frac{1}{4 s^{3}}] + \frac{d}{d s} [- \frac{5}{2 s}]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d s} [\frac{1}{4 s^{3}}] + \frac{d}{d s} [- \frac{5}{2 s}]$

단계 2

$\frac{d}{d s} [\frac{1}{4 s^{3}}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 2.1

$\frac{1}{4}$ 은 $s$ 에 대해 일정하므로 $s$ 에 대한 $\frac{1}{4 s^{3}}$ 의 미분은 $\frac{1}{4} \frac{d}{d s} [\frac{1}{s^{3}}]$ 입니다.

$\frac{1}{4} \frac{d}{d s} [\frac{1}{s^{3}}] + \frac{d}{d s} [- \frac{5}{2 s}]$

단계 2.2

$\frac{1}{s^{3}}$ 을 ${(s^{3})}^{- 1}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{1}{4} \frac{d}{d s} [{(s^{3})}^{- 1}] + \frac{d}{d s} [- \frac{5}{2 s}]$

단계 2.3

$f (s) = s^{- 1}$ , $g (s) = s^{3}$ 일 때 $\frac{d}{d s} [f (g (s))]$ 는 $f' (g (s)) g' (s)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.3.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $s^{3}$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{4} (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d s} [s^{3}]) + \frac{d}{d s} [- \frac{5}{2 s}]$

단계 2.3.2

$n = - 1$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{4} (- u^{- 2} \frac{d}{d s} [s^{3}]) + \frac{d}{d s} [- \frac{5}{2 s}]$

단계 2.3.3

$u$ 를 모두 $s^{3}$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{4} (- {(s^{3})}^{- 2} \frac{d}{d s} [s^{3}]) + \frac{d}{d s} [- \frac{5}{2 s}]$

단계 2.4

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d s} [s^{n}]$ 는 $n s^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{4} (- {(s^{3})}^{- 2} (3 s^{2})) + \frac{d}{d s} [- \frac{5}{2 s}]$

단계 2.5

${(s^{3})}^{- 2}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 2.5.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\frac{1}{4} (- s^{3 \cdot - 2} (3 s^{2})) + \frac{d}{d s} [- \frac{5}{2 s}]$

단계 2.5.2

$3$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{4} (- s^{- 6} (3 s^{2})) + \frac{d}{d s} [- \frac{5}{2 s}]$

단계 2.6

$3$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{4} (- 3 s^{- 6} s^{2}) + \frac{d}{d s} [- \frac{5}{2 s}]$

단계 2.7

지수를 더하여 $s^{- 6}$ 에 $s^{2}$ 을 곱합니다.

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단계 2.7.1

$s^{2}$ 를 옮깁니다.

$\frac{1}{4} (- 3 (s^{2} s^{- 6})) + \frac{d}{d s} [- \frac{5}{2 s}]$

단계 2.7.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{1}{4} (- 3 s^{2 - 6}) + \frac{d}{d s} [- \frac{5}{2 s}]$

단계 2.7.3

$2$ 에서 $6$ 을 뺍니다.

$\frac{1}{4} (- 3 s^{- 4}) + \frac{d}{d s} [- \frac{5}{2 s}]$

단계 2.8

$- 3$ 와 $\frac{1}{4}$ 을 묶습니다.

$\frac{- 3}{4} s^{- 4} + \frac{d}{d s} [- \frac{5}{2 s}]$

단계 2.9

$\frac{- 3}{4}$ 와 $s^{- 4}$ 을 묶습니다.

$\frac{- 3 s^{- 4}}{4} + \frac{d}{d s} [- \frac{5}{2 s}]$

단계 2.10

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 $s^{- 4}$ 를 분모로 이동합니다.

$\frac{- 3}{4 s^{4}} + \frac{d}{d s} [- \frac{5}{2 s}]$

단계 2.11

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{3}{4 s^{4}} + \frac{d}{d s} [- \frac{5}{2 s}]$

단계 3

$\frac{d}{d s} [- \frac{5}{2 s}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 3.1

$- \frac{5}{2}$ 은 $s$ 에 대해 일정하므로 $s$ 에 대한 $- \frac{5}{2 s}$ 의 미분은 $- \frac{5}{2} \frac{d}{d s} [\frac{1}{s}]$ 입니다.

$- \frac{3}{4 s^{4}} - \frac{5}{2} \frac{d}{d s} [\frac{1}{s}]$

단계 3.2

$\frac{1}{s}$ 을 $s^{- 1}$ 로 바꿔 씁니다.

$- \frac{3}{4 s^{4}} - \frac{5}{2} \frac{d}{d s} [s^{- 1}]$

단계 3.3

$n = - 1$ 일 때 $\frac{d}{d s} [s^{n}]$ 는 $n s^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- \frac{3}{4 s^{4}} - \frac{5}{2} (- s^{- 2})$

단계 3.4

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$- \frac{3}{4 s^{4}} + 1 (\frac{5}{2}) s^{- 2}$

단계 3.5

$\frac{5}{2}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- \frac{3}{4 s^{4}} + \frac{5}{2} s^{- 2}$

단계 3.6

$\frac{5}{2}$ 와 $s^{- 2}$ 을 묶습니다.

$- \frac{3}{4 s^{4}} + \frac{5 s^{- 2}}{2}$

단계 3.7

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 $s^{- 2}$ 를 분모로 이동합니다.

$- \frac{3}{4 s^{4}} + \frac{5}{2 s^{2}}$

단계 4

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{5}{2 s^{2}} - \frac{3}{4 s^{4}}$