미적분 예제

$h (x) = \frac{3 x^{2} - 2 e^{x}}{5 x}$

단계 1

$\frac{1}{5}$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $\frac{3 x^{2} - 2 e^{x}}{5 x}$ 의 미분은 $\frac{1}{5} \frac{d}{d x} [\frac{3 x^{2} - 2 e^{x}}{x}]$ 입니다.

$\frac{1}{5} \frac{d}{d x} [\frac{3 x^{2} - 2 e^{x}}{x}]$

단계 2

$f (x) = 3 x^{2} - 2 e^{x}$ , $g (x) = x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 는 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ 이라는 몫의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{5} \cdot \frac{x \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 2 e^{x}] - (3 x^{2} - 2 e^{x}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

단계 3

미분합니다.

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단계 3.1

합의 법칙에 의해 $3 x^{2} - 2 e^{x}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 e^{x}]$ 가 됩니다.

$\frac{1}{5} \cdot \frac{x (\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 e^{x}]) - (3 x^{2} - 2 e^{x}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

단계 3.2

$3$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $3 x^{2}$ 의 미분은 $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$\frac{1}{5} \cdot \frac{x (3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 e^{x}]) - (3 x^{2} - 2 e^{x}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

단계 3.3

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{5} \cdot \frac{x (3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 2 e^{x}]) - (3 x^{2} - 2 e^{x}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

단계 3.4

$2$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{5} \cdot \frac{x (6 x + \frac{d}{d x} [- 2 e^{x}]) - (3 x^{2} - 2 e^{x}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

단계 3.5

$- 2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 2 e^{x}$ 의 미분은 $- 2 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ 입니다.

$\frac{1}{5} \cdot \frac{x (6 x - 2 \frac{d}{d x} [e^{x}]) - (3 x^{2} - 2 e^{x}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

단계 4

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 은 $a^{x} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{5} \cdot \frac{x (6 x - 2 e^{x}) - (3 x^{2} - 2 e^{x}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

단계 5

멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 5.1

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{5} \cdot \frac{x (6 x - 2 e^{x}) - (3 x^{2} - 2 e^{x}) \cdot 1}{x^{2}}$

단계 5.2

분수를 통분합니다.

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단계 5.2.1

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{5} \cdot \frac{x (6 x - 2 e^{x}) - (3 x^{2} - 2 e^{x})}{x^{2}}$

단계 5.2.2

$\frac{1}{5}$ 에 $\frac{x (6 x - 2 e^{x}) - (3 x^{2} - 2 e^{x})}{x^{2}}$ 을 곱합니다.

$\frac{x (6 x - 2 e^{x}) - (3 x^{2} - 2 e^{x})}{5 x^{2}}$

단계 6

간단히 합니다.

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단계 6.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{x (6 x) + x (- 2 e^{x}) - (3 x^{2} - 2 e^{x})}{5 x^{2}}$

단계 6.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{x (6 x) + x (- 2 e^{x}) - (3 x^{2}) - (- 2 e^{x})}{5 x^{2}}$

단계 6.3

분자를 간단히 합니다.

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단계 6.3.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 6.3.1.1

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$\frac{6 x \cdot x + x (- 2 e^{x}) - (3 x^{2}) - (- 2 e^{x})}{5 x^{2}}$

단계 6.3.1.2

지수를 더하여 $x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

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단계 6.3.1.2.1

$x$ 를 옮깁니다.

$\frac{6 (x \cdot x) + x (- 2 e^{x}) - (3 x^{2}) - (- 2 e^{x})}{5 x^{2}}$

단계 6.3.1.2.2

$x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

$\frac{6 x^{2} + x (- 2 e^{x}) - (3 x^{2}) - (- 2 e^{x})}{5 x^{2}}$

단계 6.3.1.3

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$\frac{6 x^{2} - 2 x e^{x} - (3 x^{2}) - (- 2 e^{x})}{5 x^{2}}$

단계 6.3.1.4

$3$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{6 x^{2} - 2 x e^{x} - 3 x^{2} - (- 2 e^{x})}{5 x^{2}}$

단계 6.3.1.5

$- 2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{6 x^{2} - 2 x e^{x} - 3 x^{2} + 2 e^{x}}{5 x^{2}}$

단계 6.3.2

$6 x^{2}$ 에서 $3 x^{2}$ 을 뺍니다.

$\frac{3 x^{2} - 2 x e^{x} + 2 e^{x}}{5 x^{2}}$

단계 6.4

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{3 x^{2} - 2 e^{x} x + 2 e^{x}}{5 x^{2}}$

단계 6.5

$\frac{3 x^{2} - 2 e^{x} x + 2 e^{x}}{5 x^{2}}$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$\frac{3 x^{2} - 2 x e^{x} + 2 e^{x}}{5 x^{2}}$