미적분 예제

$f (x) = \frac{\sec (x)}{2 - \cos (x)}$

단계 1

$f (x) = \sec (x)$ , $g (x) = 2 - \cos (x)$ 일 때 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 는 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ 이라는 몫의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{(2 - \cos (x)) \frac{d}{d x} [\sec (x)] - \sec (x) \frac{d}{d x} [2 - \cos (x)]}{{(2 - \cos (x))}^{2}}$

단계 2

$\sec (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\sec (x) \tan (x)$ 입니다.

$\frac{(2 - \cos (x)) (\sec (x) \tan (x)) - \sec (x) \frac{d}{d x} [2 - \cos (x)]}{{(2 - \cos (x))}^{2}}$

단계 3

미분합니다.

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단계 3.1

합의 법칙에 의해 $2 - \cos (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ 가 됩니다.

$\frac{(2 - \cos (x)) \sec (x) \tan (x) - \sec (x) (\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)])}{{(2 - \cos (x))}^{2}}$

단계 3.2

$2$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $2$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $2$ 입니다.

$\frac{(2 - \cos (x)) \sec (x) \tan (x) - \sec (x) (0 + \frac{d}{d x} [- \cos (x)])}{{(2 - \cos (x))}^{2}}$

단계 3.3

$0$ 를 $\frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ 에 더합니다.

$\frac{(2 - \cos (x)) \sec (x) \tan (x) - \sec (x) \frac{d}{d x} [- \cos (x)]}{{(2 - \cos (x))}^{2}}$

단계 3.4

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- \cos (x)$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ 입니다.

$\frac{(2 - \cos (x)) \sec (x) \tan (x) - \sec (x) (- \frac{d}{d x} [\cos (x)])}{{(2 - \cos (x))}^{2}}$

단계 3.5

곱합니다.

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단계 3.5.1

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{(2 - \cos (x)) \sec (x) \tan (x) + 1 \sec (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{{(2 - \cos (x))}^{2}}$

단계 3.5.2

$\sec (x)$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{(2 - \cos (x)) \sec (x) \tan (x) + \sec (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{{(2 - \cos (x))}^{2}}$

단계 4

$\cos (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- \sin (x)$ 입니다.

$\frac{(2 - \cos (x)) \sec (x) \tan (x) + \sec (x) (- \sin (x))}{{(2 - \cos (x))}^{2}}$

단계 5

간단히 합니다.

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단계 5.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{(2 \sec (x) - \cos (x) \sec (x)) \tan (x) + \sec (x) (- \sin (x))}{{(2 - \cos (x))}^{2}}$

단계 5.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{2 \sec (x) \tan (x) - \cos (x) \sec (x) \tan (x) + \sec (x) (- \sin (x))}{{(2 - \cos (x))}^{2}}$

단계 5.3

분자를 간단히 합니다.

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단계 5.3.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 5.3.1.1

$\sec (x)$ 를 사인과 코사인을 사용하여 다시 표현합니다.

$\frac{2 \frac{1}{\cos (x)} \tan (x) - \cos (x) \sec (x) \tan (x) + \sec (x) (- \sin (x))}{{(2 - \cos (x))}^{2}}$

단계 5.3.1.2

$2$ 와 $\frac{1}{\cos (x)}$ 을 묶습니다.

$\frac{\frac{2}{\cos (x)} \tan (x) - \cos (x) \sec (x) \tan (x) + \sec (x) (- \sin (x))}{{(2 - \cos (x))}^{2}}$

단계 5.3.1.3

$\tan (x)$ 를 사인과 코사인을 사용하여 다시 표현합니다.

$\frac{\frac{2}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \cos (x) \sec (x) \tan (x) + \sec (x) (- \sin (x))}{{(2 - \cos (x))}^{2}}$

단계 5.3.1.4

$\frac{2}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ 을 곱합니다.

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단계 5.3.1.4.1

$\frac{2}{\cos (x)}$ 에 $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ 을 곱합니다.

$\frac{\frac{2 \sin (x)}{\cos (x) \cos (x)} - \cos (x) \sec (x) \tan (x) + \sec (x) (- \sin (x))}{{(2 - \cos (x))}^{2}}$

단계 5.3.1.4.2

$\cos (x)$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{\frac{2 \sin (x)}{\cos^{1} (x) \cos (x)} - \cos (x) \sec (x) \tan (x) + \sec (x) (- \sin (x))}{{(2 - \cos (x))}^{2}}$

단계 5.3.1.4.3

$\cos (x)$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{\frac{2 \sin (x)}{\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)} - \cos (x) \sec (x) \tan (x) + \sec (x) (- \sin (x))}{{(2 - \cos (x))}^{2}}$

단계 5.3.1.4.4

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{\frac{2 \sin (x)}{{\cos (x)}^{1 + 1}} - \cos (x) \sec (x) \tan (x) + \sec (x) (- \sin (x))}{{(2 - \cos (x))}^{2}}$

단계 5.3.1.4.5

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{\frac{2 \sin (x)}{\cos^{2} (x)} - \cos (x) \sec (x) \tan (x) + \sec (x) (- \sin (x))}{{(2 - \cos (x))}^{2}}$

단계 5.3.1.5

사인과 코사인으로 표현되도록 수식을 바꾸고 공약수를 소거합니다.

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단계 5.3.1.5.1

괄호를 표시합니다.

$\frac{\frac{2 \sin (x)}{\cos^{2} (x)} - (\cos (x) \sec (x)) \tan (x) + \sec (x) (- \sin (x))}{{(2 - \cos (x))}^{2}}$

단계 5.3.1.5.2

$\cos (x)$ 와 $\sec (x)$ 을 다시 정렬합니다.

$\frac{\frac{2 \sin (x)}{\cos^{2} (x)} - (\sec (x) \cos (x)) \tan (x) + \sec (x) (- \sin (x))}{{(2 - \cos (x))}^{2}}$

단계 5.3.1.5.3

$- \cos (x) \sec (x)$ 를 사인과 코사인을 사용하여 다시 표현합니다.

$\frac{\frac{2 \sin (x)}{\cos^{2} (x)} - (\frac{1}{\cos (x)} \cos (x)) \tan (x) + \sec (x) (- \sin (x))}{{(2 - \cos (x))}^{2}}$

단계 5.3.1.5.4

공약수로 약분합니다.

$\frac{\frac{2 \sin (x)}{\cos^{2} (x)} - 1 \cdot 1 \tan (x) + \sec (x) (- \sin (x))}{{(2 - \cos (x))}^{2}}$

단계 5.3.1.6

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{\frac{2 \sin (x)}{\cos^{2} (x)} - 1 \tan (x) + \sec (x) (- \sin (x))}{{(2 - \cos (x))}^{2}}$

단계 5.3.1.7

$\tan (x)$ 를 사인과 코사인을 사용하여 다시 표현합니다.

$\frac{\frac{2 \sin (x)}{\cos^{2} (x)} - 1 \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \sec (x) (- \sin (x))}{{(2 - \cos (x))}^{2}}$

단계 5.3.1.8

$- 1 \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ 을 $- \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{\frac{2 \sin (x)}{\cos^{2} (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \sec (x) (- \sin (x))}{{(2 - \cos (x))}^{2}}$

단계 5.3.1.9

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$\frac{\frac{2 \sin (x)}{\cos^{2} (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \sec (x) \sin (x)}{{(2 - \cos (x))}^{2}}$

단계 5.3.1.10

$\sec (x)$ 를 사인과 코사인을 사용하여 다시 표현합니다.

$\frac{\frac{2 \sin (x)}{\cos^{2} (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \frac{1}{\cos (x)} \sin (x)}{{(2 - \cos (x))}^{2}}$

단계 5.3.1.11

$\sin (x)$ 와 $\frac{1}{\cos (x)}$ 을 묶습니다.

$\frac{\frac{2 \sin (x)}{\cos^{2} (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{{(2 - \cos (x))}^{2}}$

단계 5.3.2

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{\frac{2 \sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{- \sin (x) - \sin (x)}{\cos (x)}}{{(2 - \cos (x))}^{2}}$

단계 5.3.3

$- \sin (x)$ 에서 $\sin (x)$ 을 뺍니다.

$\frac{\frac{2 \sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{- 2 \sin (x)}{\cos (x)}}{{(2 - \cos (x))}^{2}}$

단계 5.3.4

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{\frac{2 \sin (x)}{\cos^{2} (x)} - \frac{2 \sin (x)}{\cos (x)}}{{(2 - \cos (x))}^{2}}$

단계 5.3.5

각 항을 간단히 합니다.

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단계 5.3.5.1

$\cos^{2} (x)$ 에서 $\cos (x)$ 를 인수분해합니다.

$\frac{\frac{2 \sin (x)}{\cos (x) \cos (x)} - \frac{2 \sin (x)}{\cos (x)}}{{(2 - \cos (x))}^{2}}$

단계 5.3.5.2

분수를 나눕니다.

$\frac{\frac{2}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \frac{2 \sin (x)}{\cos (x)}}{{(2 - \cos (x))}^{2}}$

단계 5.3.5.3

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ 을 $\tan (x)$ 로 변환합니다.

$\frac{\frac{2}{\cos (x)} \tan (x) - \frac{2 \sin (x)}{\cos (x)}}{{(2 - \cos (x))}^{2}}$

단계 5.3.5.4

분수를 나눕니다.

$\frac{\frac{2}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)} \tan (x) - \frac{2 \sin (x)}{\cos (x)}}{{(2 - \cos (x))}^{2}}$

단계 5.3.5.5

$\frac{1}{\cos (x)}$ 을 $\sec (x)$ 로 변환합니다.

$\frac{\frac{2}{1} \sec (x) \tan (x) - \frac{2 \sin (x)}{\cos (x)}}{{(2 - \cos (x))}^{2}}$

단계 5.3.5.6

$2$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\frac{2 \sec (x) \tan (x) - \frac{2 \sin (x)}{\cos (x)}}{{(2 - \cos (x))}^{2}}$

단계 5.3.5.7

분수를 나눕니다.

$\frac{2 \sec (x) \tan (x) - (\frac{2}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)})}{{(2 - \cos (x))}^{2}}$

단계 5.3.5.8

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ 을 $\tan (x)$ 로 변환합니다.

$\frac{2 \sec (x) \tan (x) - (\frac{2}{1} \tan (x))}{{(2 - \cos (x))}^{2}}$

단계 5.3.5.9

$2$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\frac{2 \sec (x) \tan (x) - (2 \tan (x))}{{(2 - \cos (x))}^{2}}$

단계 5.3.5.10

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{2 \sec (x) \tan (x) - 2 \tan (x)}{{(2 - \cos (x))}^{2}}$

단계 5.4

분자를 간단히 합니다.

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단계 5.4.1

$2 \sec (x) \tan (x) - 2 \tan (x)$ 에서 $2 \tan (x)$ 를 인수분해합니다.

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단계 5.4.1.1

$2 \sec (x) \tan (x)$ 에서 $2 \tan (x)$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 \tan (x) (\sec (x)) - 2 \tan (x)}{{(2 - \cos (x))}^{2}}$

단계 5.4.1.2

$- 2 \tan (x)$ 에서 $2 \tan (x)$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 \tan (x) (\sec (x)) + 2 \tan (x) (- 1)}{{(2 - \cos (x))}^{2}}$

단계 5.4.1.3

$2 \tan (x) (\sec (x)) + 2 \tan (x) (- 1)$ 에서 $2 \tan (x)$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 \tan (x) (\sec (x) - 1)}{{(2 - \cos (x))}^{2}}$

단계 5.4.2

$\sec (x)$ 를 사인과 코사인을 사용하여 다시 표현합니다.

$\frac{2 \tan (x) (\frac{1}{\cos (x)} - 1)}{{(2 - \cos (x))}^{2}}$

단계 5.4.3

$\tan (x)$ 를 사인과 코사인을 사용하여 다시 표현합니다.

$\frac{2 \frac{\sin (x)}{\cos (x)} (\frac{1}{\cos (x)} - 1)}{{(2 - \cos (x))}^{2}}$

단계 5.4.4

$2$ 와 $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ 을 묶습니다.

$\frac{\frac{2 \sin (x)}{\cos (x)} (\frac{1}{\cos (x)} - 1)}{{(2 - \cos (x))}^{2}}$

단계 5.5

$\frac{\frac{2 \sin (x)}{\cos (x)} (\frac{1}{\cos (x)} - 1)}{{(2 - \cos (x))}^{2}}$ 에서 $\frac{2 \sin (x)}{\cos (x)}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 \sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\frac{1}{\cos (x)} - 1}{{(2 - \cos (x))}^{2}}$

단계 5.6

$\frac{2 \sin (x)}{\cos (x)}$ 에 $\frac{\frac{1}{\cos (x)} - 1}{{(2 - \cos (x))}^{2}}$ 을 곱합니다.

$\frac{2 \sin (x) (\frac{1}{\cos (x)} - 1)}{\cos (x) {(2 - \cos (x))}^{2}}$

단계 5.7

분수를 나눕니다.

$\frac{2 (\frac{1}{\cos (x)} - 1)}{{(2 - \cos (x))}^{2}} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

단계 5.8

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ 을 $\tan (x)$ 로 변환합니다.

$\frac{2 (\frac{1}{\cos (x)} - 1)}{{(2 - \cos (x))}^{2}} \tan (x)$

단계 5.9

$\frac{1}{\cos (x)}$ 을 $\sec (x)$ 로 변환합니다.

$\frac{2 (\sec (x) - 1)}{{(2 - \cos (x))}^{2}} \tan (x)$

단계 5.10

$\frac{2 (\sec (x) - 1)}{{(2 - \cos (x))}^{2}}$ 와 $\tan (x)$ 을 묶습니다.

$\frac{2 (\sec (x) - 1) \tan (x)}{{(2 - \cos (x))}^{2}}$

단계 5.11

$\frac{2 (\sec (x) - 1) \tan (x)}{{(2 - \cos (x))}^{2}}$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$\frac{2 \tan (x) (\sec (x) - 1)}{{(2 - \cos (x))}^{2}}$