미적분 예제

$f (x) = \ln (e^{x^{2}} + 1)$

단계 1

$f (x) = \ln (x)$ , $g (x) = e^{x^{2}} + 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{1}$ 를 $e^{x^{2}} + 1$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [e^{x^{2}} + 1]$

단계 1.2

$\ln (u_{1})$ 를 $u_{1}$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{u_{1}}$ 입니다.

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [e^{x^{2}} + 1]$

단계 1.3

$u_{1}$ 를 모두 $e^{x^{2}} + 1$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{e^{x^{2}} + 1} \frac{d}{d x} [e^{x^{2}} + 1]$

단계 2

합의 법칙에 의해 $e^{x^{2}} + 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [e^{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [1]$ 가 됩니다.

$\frac{1}{e^{x^{2}} + 1} (\frac{d}{d x} [e^{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [1])$

단계 3

$f (x) = e^{x}$ , $g (x) = x^{2}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 3.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{2}$ 를 $x^{2}$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{e^{x^{2}} + 1} (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])$

단계 3.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ 은 $a^{u_{2}} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{e^{x^{2}} + 1} (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])$

단계 3.3

$u_{2}$ 를 모두 $x^{2}$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{e^{x^{2}} + 1} (e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])$

단계 4

미분합니다.

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단계 4.1

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{e^{x^{2}} + 1} (e^{x^{2}} (2 x) + \frac{d}{d x} [1])$

단계 4.2

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$\frac{1}{e^{x^{2}} + 1} (e^{x^{2}} (2 x) + 0)$

단계 4.3

분수를 통분합니다.

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단계 4.3.1

$e^{x^{2}} (2 x)$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{1}{e^{x^{2}} + 1} (e^{x^{2}} (2 x))$

단계 4.3.2

$e^{x^{2}}$ 와 $\frac{1}{e^{x^{2}} + 1}$ 을 묶습니다.

$\frac{e^{x^{2}}}{e^{x^{2}} + 1} (2 x)$

단계 4.3.3

$2$ 와 $\frac{e^{x^{2}}}{e^{x^{2}} + 1}$ 을 묶습니다.

$\frac{2 e^{x^{2}}}{e^{x^{2}} + 1} x$

단계 4.3.4

$\frac{2 e^{x^{2}}}{e^{x^{2}} + 1}$ 와 $x$ 을 묶습니다.

$\frac{2 e^{x^{2}} x}{e^{x^{2}} + 1}$

단계 5

간단히 합니다.

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단계 5.1

$2 e^{x^{2}} x$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$\frac{2 x e^{x^{2}}}{e^{x^{2}} + 1}$

단계 5.2

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{2 e^{x^{2}} x}{e^{x^{2}} + 1}$

단계 5.3

$\frac{2 e^{x^{2}} x}{e^{x^{2}} + 1}$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$\frac{2 x e^{x^{2}}}{e^{x^{2}} + 1}$