미적분 예제

$f (x) = 5 e^{x} \sqrt{x}$

단계 1

상수배의 미분법을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{x}$ 을(를) $x^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$\frac{d}{d x} [5 e^{x} x^{\frac{1}{2}}]$

단계 1.2

$5$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $5 e^{x} x^{\frac{1}{2}}$ 의 미분은 $5 \frac{d}{d x} [e^{x} x^{\frac{1}{2}}]$ 입니다.

$5 \frac{d}{d x} [e^{x} x^{\frac{1}{2}}]$

단계 2

$f (x) = e^{x}$ , $g (x) = x^{\frac{1}{2}}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$5 (e^{x} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [e^{x}])$

단계 3

$n = \frac{1}{2}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$5 (e^{x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) + x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [e^{x}])$

단계 4

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$5 (e^{x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [e^{x}])$

단계 5

$- 1$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$5 (e^{x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [e^{x}])$

단계 6

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$5 (e^{x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}) + x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [e^{x}])$

단계 7

분자를 간단히 합니다.

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단계 7.1

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$5 (e^{x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}) + x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [e^{x}])$

단계 7.2

$1$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$5 (e^{x} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}) + x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [e^{x}])$

단계 8

분수를 통분합니다.

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단계 8.1

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$5 (e^{x} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}) + x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [e^{x}])$

단계 8.2

$\frac{1}{2}$ 와 $x^{- \frac{1}{2}}$ 을 묶습니다.

$5 (e^{x} \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} + x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [e^{x}])$

단계 8.3

$e^{x}$ 와 $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ 을 묶습니다.

$5 (\frac{e^{x} x^{- \frac{1}{2}}}{2} + x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [e^{x}])$

단계 8.4

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 $x^{- \frac{1}{2}}$ 를 분모로 이동합니다.

$5 (\frac{e^{x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [e^{x}])$

단계 9

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 은 $a^{x} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$5 (\frac{e^{x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} e^{x})$

단계 10

간단히 합니다.

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단계 10.1

분배 법칙을 적용합니다.

$5 \frac{e^{x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 5 (x^{\frac{1}{2}} e^{x})$

단계 10.2

$5$ 와 $\frac{e^{x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ 을 묶습니다.

$\frac{5 e^{x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 5 x^{\frac{1}{2}} e^{x}$

단계 10.3

항을 다시 정렬합니다.

$5 e^{x} x^{\frac{1}{2}} + \frac{5 e^{x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$