미적분 예제

$e^{x} - e^{y} = x - y$

단계 1

방정식의 양변을 미분합니다.

$\frac{d}{d x} (e^{x} - e^{y}) = \frac{d}{d x} (x - y)$

단계 2

방정식의 좌변을 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

합의 법칙에 의해 $e^{x} - e^{y}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- e^{y}]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- e^{y}]$

단계 2.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 은 $a^{x} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$e^{x} + \frac{d}{d x} [- e^{y}]$

단계 2.3

$\frac{d}{d x} [- e^{y}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- e^{y}$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [e^{y}]$ 입니다.

$e^{x} - \frac{d}{d x} [e^{y}]$

단계 2.3.2

$f (x) = e^{x}$ , $g (x) = y$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $y$ 로 바꿉니다.

$e^{x} - (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [y])$

단계 2.3.2.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 은 $a^{u} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$e^{x} - (e^{u} \frac{d}{d x} [y])$

단계 2.3.2.3

$u$ 를 모두 $y$ 로 바꿉니다.

$e^{x} - (e^{y} \frac{d}{d x} [y])$

단계 2.3.3

$\frac{d}{d x} [y]$ 을 $y'$ 로 바꿔 씁니다.

$e^{x} - e^{y} y'$

단계 2.4

항을 다시 정렬합니다.

$- e^{y} y' + e^{x}$

단계 3

방정식의 우변을 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.1

합의 법칙에 의해 $x - y$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y]$

단계 3.1.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$1 + \frac{d}{d x} [- y]$

단계 3.2

$\frac{d}{d x} [- y]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- y$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [y]$ 입니다.

$1 - \frac{d}{d x} [y]$

단계 3.2.2

$\frac{d}{d x} [y]$ 을 $y'$ 로 바꿔 씁니다.

$1 - y'$

단계 4

좌변이 우변과 같도록 방정식을 고칩니다.

$- e^{y} y' + e^{x} = 1 - y'$

단계 5

$y'$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

$- e^{y} y' + e^{x}$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$- y' e^{y} + e^{x} = 1 - y'$

단계 5.2

방정식의 양변에 $y'$ 를 더합니다.

$- y' e^{y} + e^{x} + y' = 1$

단계 5.3

방정식의 양변에서 $e^{x}$ 를 뺍니다.

$- y' e^{y} + y' = 1 - e^{x}$

단계 5.4

$- y' e^{y} + y'$ 에서 $y'$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.4.1

$- y' e^{y}$ 에서 $y'$ 를 인수분해합니다.

$y' (- 1 e^{y}) + y' = 1 - e^{x}$

단계 5.4.2

$y'$ 를 $1$ 승 합니다.

$y' (- 1 e^{y}) + y' = 1 - e^{x}$

단계 5.4.3

${y'}^{1}$ 에서 $y'$ 를 인수분해합니다.

$y' (- 1 e^{y}) + y' \cdot 1 = 1 - e^{x}$

단계 5.4.4

$y' (- 1 e^{y}) + y' \cdot 1$ 에서 $y'$ 를 인수분해합니다.

$y' (- 1 e^{y} + 1) = 1 - e^{x}$

단계 5.5

$- 1 e^{y}$ 을 $- e^{y}$ 로 바꿔 씁니다.

$y' (- e^{y} + 1) = 1 - e^{x}$

단계 5.6

$y' (- e^{y} + 1) = 1 - e^{x}$ 의 각 항을 $- e^{y} + 1$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.6.1

$y' (- e^{y} + 1) = 1 - e^{x}$ 의 각 항을 $- e^{y} + 1$ 로 나눕니다.

$\frac{y' (- e^{y} + 1)}{- e^{y} + 1} = \frac{1}{- e^{y} + 1} + \frac{- e^{x}}{- e^{y} + 1}$

단계 5.6.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.6.2.1

$- e^{y} + 1$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.6.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{y' (- e^{y} + 1)}{- e^{y} + 1} = \frac{1}{- e^{y} + 1} + \frac{- e^{x}}{- e^{y} + 1}$

단계 5.6.2.1.2

$y'$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$y' = \frac{1}{- e^{y} + 1} + \frac{- e^{x}}{- e^{y} + 1}$

단계 5.6.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.6.3.1

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$y' = \frac{1}{- e^{y} + 1} - \frac{e^{x}}{- e^{y} + 1}$

단계 5.6.3.2

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$y' = \frac{1 - e^{x}}{- e^{y} + 1}$

단계 5.6.3.3

$- e^{y}$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$y' = \frac{1 - e^{x}}{- (e^{y}) + 1}$

단계 5.6.3.4

$1$ 을 $- 1 (- 1)$ 로 바꿔 씁니다.

$y' = \frac{1 - e^{x}}{- (e^{y}) - 1 (- 1)}$

단계 5.6.3.5

$- (e^{y}) - 1 (- 1)$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$y' = \frac{1 - e^{x}}{- (e^{y} - 1)}$

단계 5.6.3.6

음수 부분을 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.6.3.6.1

$- (e^{y} - 1)$ 을 $- 1 (e^{y} - 1)$ 로 바꿔 씁니다.

$y' = \frac{1 - e^{x}}{- 1 (e^{y} - 1)}$

단계 5.6.3.6.2

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$y' = - \frac{1 - e^{x}}{e^{y} - 1}$

단계 6

$y'$ 에 $\frac{d y}{d x}$ 를 대입합니다.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{1 - e^{x}}{e^{y} - 1}$