미적분 예제

$5 y^{2} - 8 x^{4} + 3 = 0$

단계 1

방정식의 양변을 미분합니다.

$\frac{d}{d x} (5 y^{2} - 8 x^{4} + 3) = \frac{d}{d x} (0)$

단계 2

방정식의 좌변을 미분합니다.

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단계 2.1

합의 법칙에 의해 $5 y^{2} - 8 x^{4} + 3$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [5 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{4}] + \frac{d}{d x} [3]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [5 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{4}] + \frac{d}{d x} [3]$

단계 2.2

$\frac{d}{d x} [5 y^{2}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 2.2.1

$5$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $5 y^{2}$ 의 미분은 $5 \frac{d}{d x} [y^{2}]$ 입니다.

$5 \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{4}] + \frac{d}{d x} [3]$

단계 2.2.2

$f (x) = x^{2}$ , $g (x) = y$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.2.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $y$ 로 바꿉니다.

$5 (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- 8 x^{4}] + \frac{d}{d x} [3]$

단계 2.2.2.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$5 (2 u \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- 8 x^{4}] + \frac{d}{d x} [3]$

단계 2.2.2.3

$u$ 를 모두 $y$ 로 바꿉니다.

$5 (2 y \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- 8 x^{4}] + \frac{d}{d x} [3]$

단계 2.2.3

$\frac{d}{d x} [y]$ 을 $y'$ 로 바꿔 씁니다.

$5 (2 y y') + \frac{d}{d x} [- 8 x^{4}] + \frac{d}{d x} [3]$

단계 2.2.4

$2$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$10 y y' + \frac{d}{d x} [- 8 x^{4}] + \frac{d}{d x} [3]$

단계 2.3

$\frac{d}{d x} [- 8 x^{4}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 2.3.1

$- 8$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 8 x^{4}$ 의 미분은 $- 8 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ 입니다.

$10 y y' - 8 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [3]$

단계 2.3.2

$n = 4$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$10 y y' - 8 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [3]$

단계 2.3.3

$4$ 에 $- 8$ 을 곱합니다.

$10 y y' - 32 x^{3} + \frac{d}{d x} [3]$

단계 2.4

$3$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $3$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $3$ 입니다.

$10 y y' - 32 x^{3} + 0$

단계 2.5

간단히 합니다.

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단계 2.5.1

$10 y y' - 32 x^{3}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$10 y y' - 32 x^{3}$

단계 2.5.2

항을 다시 정렬합니다.

$- 32 x^{3} + 10 y y'$

단계 3

$0$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $0$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $0$ 입니다.

$0$

단계 4

좌변이 우변과 같도록 방정식을 고칩니다.

$- 32 x^{3} + 10 y y' = 0$

단계 5

$y'$ 에 대해 풉니다.

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단계 5.1

방정식의 양변에 $32 x^{3}$ 를 더합니다.

$10 y y' = 32 x^{3}$

단계 5.2

$10 y y' = 32 x^{3}$ 의 각 항을 $10 y$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

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단계 5.2.1

$10 y y' = 32 x^{3}$ 의 각 항을 $10 y$ 로 나눕니다.

$\frac{10 y y'}{10 y} = \frac{32 x^{3}}{10 y}$

단계 5.2.2

좌변을 간단히 합니다.

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단계 5.2.2.1

$10$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 5.2.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{10 y y'}{10 y} = \frac{32 x^{3}}{10 y}$

단계 5.2.2.1.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{y y'}{y} = \frac{32 x^{3}}{10 y}$

단계 5.2.2.2

$y$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 5.2.2.2.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{y y'}{y} = \frac{32 x^{3}}{10 y}$

단계 5.2.2.2.2

$y'$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$y' = \frac{32 x^{3}}{10 y}$

단계 5.2.3

우변을 간단히 합니다.

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단계 5.2.3.1

$32$ 및 $10$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 5.2.3.1.1

$32 x^{3}$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$y' = \frac{2 (16 x^{3})}{10 y}$

단계 5.2.3.1.2

공약수로 약분합니다.

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단계 5.2.3.1.2.1

$10 y$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$y' = \frac{2 (16 x^{3})}{2 (5 y)}$

단계 5.2.3.1.2.2

공약수로 약분합니다.

$y' = \frac{2 (16 x^{3})}{2 (5 y)}$

단계 5.2.3.1.2.3

수식을 다시 씁니다.

$y' = \frac{16 x^{3}}{5 y}$

단계 6

$y'$ 에 $\frac{d y}{d x}$ 를 대입합니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{16 x^{3}}{5 y}$