미적분 예제

$f (x) = 3 x^{4} (2 x^{2} - 1)$

단계 1

$3$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $3 x^{4} (2 x^{2} - 1)$ 의 미분은 $3 \frac{d}{d x} [x^{4} (2 x^{2} - 1)]$ 입니다.

$3 \frac{d}{d x} [x^{4} (2 x^{2} - 1)]$

단계 2

$f (x) = x^{4}$ , $g (x) = 2 x^{2} - 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$3 (x^{4} \frac{d}{d x} [2 x^{2} - 1] + (2 x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x^{4}])$

단계 3

미분합니다.

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단계 3.1

합의 법칙에 의해 $2 x^{2} - 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 가 됩니다.

$3 (x^{4} (\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (2 x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x^{4}])$

단계 3.2

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 x^{2}$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$3 (x^{4} (2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (2 x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x^{4}])$

단계 3.3

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$3 (x^{4} (2 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 1]) + (2 x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x^{4}])$

단계 3.4

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$3 (x^{4} (4 x + \frac{d}{d x} [- 1]) + (2 x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x^{4}])$

단계 3.5

$- 1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 1$ 입니다.

$3 (x^{4} (4 x + 0) + (2 x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x^{4}])$

단계 3.6

$4 x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$3 (x^{4} (4 x) + (2 x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x^{4}])$

단계 4

지수를 더하여 $x^{4}$ 에 $x$ 을 곱합니다.

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단계 4.1

$x$ 를 옮깁니다.

$3 (x \cdot x^{4} \cdot 4 + (2 x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x^{4}])$

단계 4.2

$x$ 에 $x^{4}$ 을 곱합니다.

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단계 4.2.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$3 (x^{1} x^{4} \cdot 4 + (2 x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x^{4}])$

단계 4.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$3 (x^{1 + 4} \cdot 4 + (2 x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x^{4}])$

단계 4.3

$1$ 를 $4$ 에 더합니다.

$3 (x^{5} \cdot 4 + (2 x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x^{4}])$

단계 5

$x^{5}$ 의 왼쪽으로 $4$ 이동하기

$3 (4 \cdot x^{5} + (2 x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x^{4}])$

단계 6

$n = 4$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$3 (4 x^{5} + (2 x^{2} - 1) (4 x^{3}))$

단계 7

$2 x^{2} - 1$ 의 왼쪽으로 $4$ 이동하기

$3 (4 x^{5} + 4 \cdot (2 x^{2} - 1) x^{3})$

단계 8

간단히 합니다.

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단계 8.1

분배 법칙을 적용합니다.

$3 (4 x^{5} + (4 (2 x^{2}) + 4 \cdot - 1) x^{3})$

단계 8.2

분배 법칙을 적용합니다.

$3 (4 x^{5} + 4 (2 x^{2}) x^{3} + 4 \cdot - 1 x^{3})$

단계 8.3

분배 법칙을 적용합니다.

$3 (4 x^{5}) + 3 (4 (2 x^{2}) x^{3}) + 3 (4 \cdot - 1 x^{3})$

단계 8.4

항을 묶습니다.

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단계 8.4.1

$4$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$12 x^{5} + 3 (4 (2 x^{2}) x^{3}) + 3 (4 \cdot - 1 x^{3})$

단계 8.4.2

$2$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$12 x^{5} + 3 (8 x^{2} x^{3}) + 3 (4 \cdot - 1 x^{3})$

단계 8.4.3

지수를 더하여 $x^{2}$ 에 $x^{3}$ 을 곱합니다.

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단계 8.4.3.1

$x^{3}$ 를 옮깁니다.

$12 x^{5} + 3 (8 (x^{3} x^{2})) + 3 (4 \cdot - 1 x^{3})$

단계 8.4.3.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$12 x^{5} + 3 (8 x^{3 + 2}) + 3 (4 \cdot - 1 x^{3})$

단계 8.4.3.3

$3$ 를 $2$ 에 더합니다.

$12 x^{5} + 3 (8 x^{5}) + 3 (4 \cdot - 1 x^{3})$

단계 8.4.4

$8$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$12 x^{5} + 24 x^{5} + 3 (4 \cdot - 1 x^{3})$

단계 8.4.5

$4$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$12 x^{5} + 24 x^{5} + 3 (- 4 x^{3})$

단계 8.4.6

$- 4$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$12 x^{5} + 24 x^{5} - 12 x^{3}$

단계 8.4.7

$12 x^{5}$ 를 $24 x^{5}$ 에 더합니다.

$36 x^{5} - 12 x^{3}$