미적분 예제

$f (x) = e^{\frac{1}{4 x}}$

단계 1

$f (x) = e^{x}$ , $g (x) = \frac{1}{4 x}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $\frac{1}{4 x}$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x}]$

단계 1.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 은 $a^{u} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$e^{u} \frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x}]$

단계 1.3

$u$ 를 모두 $\frac{1}{4 x}$ 로 바꿉니다.

$e^{\frac{1}{4 x}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x}]$

단계 2

미분합니다.

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단계 2.1

$\frac{1}{4}$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $\frac{1}{4 x}$ 의 미분은 $\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ 입니다.

$e^{\frac{1}{4 x}} (\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}])$

단계 2.2

분수를 통분합니다.

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단계 2.2.1

$\frac{1}{4}$ 와 $e^{\frac{1}{4 x}}$ 을 묶습니다.

$\frac{e^{\frac{1}{4 x}}}{4} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

단계 2.2.2

$\frac{1}{x}$ 을 $x^{- 1}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{e^{\frac{1}{4 x}}}{4} \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

단계 2.3

$n = - 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{e^{\frac{1}{4 x}}}{4} (- x^{- 2})$

단계 2.4

분수를 통분합니다.

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단계 2.4.1

$\frac{e^{\frac{1}{4 x}}}{4}$ 와 $x^{- 2}$ 을 묶습니다.

$- \frac{e^{\frac{1}{4 x}} x^{- 2}}{4}$

단계 2.4.2

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 $x^{- 2}$ 를 분모로 이동합니다.

$- \frac{e^{\frac{1}{4 x}}}{4 x^{2}}$