미적분 예제

$f (x) = \frac{x^{3}}{x^{2} - 9}$

단계 1

$f (x) = x^{3}$ , $g (x) = x^{2} - 9$ 일 때 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 는 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ 이라는 몫의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{(x^{2} - 9) \frac{d}{d x} [x^{3}] - x^{3} \frac{d}{d x} [x^{2} - 9]}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

단계 2

미분합니다.

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단계 2.1

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{(x^{2} - 9) (3 x^{2}) - x^{3} \frac{d}{d x} [x^{2} - 9]}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

단계 2.2

$x^{2} - 9$ 의 왼쪽으로 $3$ 이동하기

$\frac{3 \cdot (x^{2} - 9) x^{2} - x^{3} \frac{d}{d x} [x^{2} - 9]}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

단계 2.3

합의 법칙에 의해 $x^{2} - 9$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9]$ 가 됩니다.

$\frac{3 (x^{2} - 9) x^{2} - x^{3} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9])}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

단계 2.4

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{3 (x^{2} - 9) x^{2} - x^{3} (2 x + \frac{d}{d x} [- 9])}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

단계 2.5

$- 9$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 9$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 9$ 입니다.

$\frac{3 (x^{2} - 9) x^{2} - x^{3} (2 x + 0)}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

단계 2.6

식을 간단히 합니다.

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단계 2.6.1

$2 x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{3 (x^{2} - 9) x^{2} - x^{3} (2 x)}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

단계 2.6.2

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{3 (x^{2} - 9) x^{2} - 2 x^{3} x}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

단계 3

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{3 (x^{2} - 9) x^{2} - 2 (x^{1} x^{3})}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

단계 4

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{3 (x^{2} - 9) x^{2} - 2 x^{1 + 3}}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

단계 5

$1$ 를 $3$ 에 더합니다.

$\frac{3 (x^{2} - 9) x^{2} - 2 x^{4}}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

단계 6

간단히 합니다.

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단계 6.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{(3 x^{2} + 3 \cdot - 9) x^{2} - 2 x^{4}}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

단계 6.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{3 x^{2} x^{2} + 3 \cdot - 9 x^{2} - 2 x^{4}}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

단계 6.3

분자를 간단히 합니다.

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단계 6.3.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 6.3.1.1

지수를 더하여 $x^{2}$ 에 $x^{2}$ 을 곱합니다.

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단계 6.3.1.1.1

$x^{2}$ 를 옮깁니다.

$\frac{3 (x^{2} x^{2}) + 3 \cdot - 9 x^{2} - 2 x^{4}}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

단계 6.3.1.1.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{3 x^{2 + 2} + 3 \cdot - 9 x^{2} - 2 x^{4}}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

단계 6.3.1.1.3

$2$ 를 $2$ 에 더합니다.

$\frac{3 x^{4} + 3 \cdot - 9 x^{2} - 2 x^{4}}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

단계 6.3.1.2

$3$ 에 $- 9$ 을 곱합니다.

$\frac{3 x^{4} - 27 x^{2} - 2 x^{4}}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

단계 6.3.2

$3 x^{4}$ 에서 $2 x^{4}$ 을 뺍니다.

$\frac{x^{4} - 27 x^{2}}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

단계 6.4

$x^{4} - 27 x^{2}$ 에서 $x^{2}$ 를 인수분해합니다.

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단계 6.4.1

$x^{4}$ 에서 $x^{2}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{x^{2} x^{2} - 27 x^{2}}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

단계 6.4.2

$- 27 x^{2}$ 에서 $x^{2}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 27}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

단계 6.4.3

$x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 27$ 에서 $x^{2}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{x^{2} (x^{2} - 27)}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

단계 6.5

분모를 간단히 합니다.

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단계 6.5.1

$9$ 을 $3^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{x^{2} (x^{2} - 27)}{{(x^{2} - 3^{2})}^{2}}$

단계 6.5.2

두 항 모두 완전제곱식이므로, 제곱의 차 공식 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 $a = x$ 이고 $b = 3$ 입니다.

$\frac{x^{2} (x^{2} - 27)}{{((x + 3) (x - 3))}^{2}}$

단계 6.5.3

$(x + 3) (x - 3)$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$\frac{x^{2} (x^{2} - 27)}{{(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2}}$