미적분 예제

$f (x) = \frac{x^{2} - 7 x - 8}{x + 1}$

단계 1

$f (x) = x^{2} - 7 x - 8$ , $g (x) = x + 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 는 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ 이라는 몫의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{(x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} - 7 x - 8] - (x^{2} - 7 x - 8) \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

단계 2

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

합의 법칙에 의해 $x^{2} - 7 x - 8$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 7 x] + \frac{d}{d x} [- 8]$ 가 됩니다.

$\frac{(x + 1) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 7 x] + \frac{d}{d x} [- 8]) - (x^{2} - 7 x - 8) \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

단계 2.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{(x + 1) (2 x + \frac{d}{d x} [- 7 x] + \frac{d}{d x} [- 8]) - (x^{2} - 7 x - 8) \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

단계 2.3

$- 7$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 7 x$ 의 미분은 $- 7 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$\frac{(x + 1) (2 x - 7 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 8]) - (x^{2} - 7 x - 8) \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

단계 2.4

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{(x + 1) (2 x - 7 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 8]) - (x^{2} - 7 x - 8) \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

단계 2.5

$- 7$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{(x + 1) (2 x - 7 + \frac{d}{d x} [- 8]) - (x^{2} - 7 x - 8) \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

단계 2.6

$- 8$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 8$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 8$ 입니다.

$\frac{(x + 1) (2 x - 7 + 0) - (x^{2} - 7 x - 8) \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

단계 2.7

$2 x - 7$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{(x + 1) (2 x - 7) - (x^{2} - 7 x - 8) \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

단계 2.8

합의 법칙에 의해 $x + 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ 가 됩니다.

$\frac{(x + 1) (2 x - 7) - (x^{2} - 7 x - 8) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x + 1)}^{2}}$

단계 2.9

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{(x + 1) (2 x - 7) - (x^{2} - 7 x - 8) (1 + \frac{d}{d x} [1])}{{(x + 1)}^{2}}$

단계 2.10

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$\frac{(x + 1) (2 x - 7) - (x^{2} - 7 x - 8) (1 + 0)}{{(x + 1)}^{2}}$

단계 2.11

식을 간단히 합니다.

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단계 2.11.1

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{(x + 1) (2 x - 7) - (x^{2} - 7 x - 8) \cdot 1}{{(x + 1)}^{2}}$

단계 2.11.2

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{(x + 1) (2 x - 7) - (x^{2} - 7 x - 8)}{{(x + 1)}^{2}}$

단계 3

간단히 합니다.

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단계 3.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{(x + 1) (2 x - 7) - x^{2} - (- 7 x) - - 8}{{(x + 1)}^{2}}$

단계 3.2

분자를 간단히 합니다.

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단계 3.2.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 3.2.1.1

FOIL 계산법을 이용하여 $(x + 1) (2 x - 7)$ 를 전개합니다.

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단계 3.2.1.1.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{x (2 x - 7) + 1 (2 x - 7) - x^{2} - (- 7 x) - - 8}{{(x + 1)}^{2}}$

단계 3.2.1.1.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{x (2 x) + x \cdot - 7 + 1 (2 x - 7) - x^{2} - (- 7 x) - - 8}{{(x + 1)}^{2}}$

단계 3.2.1.1.3

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{x (2 x) + x \cdot - 7 + 1 (2 x) + 1 \cdot - 7 - x^{2} - (- 7 x) - - 8}{{(x + 1)}^{2}}$

단계 3.2.1.2

동류항끼리 묶고 식을 간단히 합니다.

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단계 3.2.1.2.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 3.2.1.2.1.1

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$\frac{2 x \cdot x + x \cdot - 7 + 1 (2 x) + 1 \cdot - 7 - x^{2} - (- 7 x) - - 8}{{(x + 1)}^{2}}$

단계 3.2.1.2.1.2

지수를 더하여 $x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

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단계 3.2.1.2.1.2.1

$x$ 를 옮깁니다.

$\frac{2 (x \cdot x) + x \cdot - 7 + 1 (2 x) + 1 \cdot - 7 - x^{2} - (- 7 x) - - 8}{{(x + 1)}^{2}}$

단계 3.2.1.2.1.2.2

$x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

$\frac{2 x^{2} + x \cdot - 7 + 1 (2 x) + 1 \cdot - 7 - x^{2} - (- 7 x) - - 8}{{(x + 1)}^{2}}$

단계 3.2.1.2.1.3

$x$ 의 왼쪽으로 $- 7$ 이동하기

$\frac{2 x^{2} - 7 \cdot x + 1 (2 x) + 1 \cdot - 7 - x^{2} - (- 7 x) - - 8}{{(x + 1)}^{2}}$

단계 3.2.1.2.1.4

$2 x$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{2 x^{2} - 7 x + 2 x + 1 \cdot - 7 - x^{2} - (- 7 x) - - 8}{{(x + 1)}^{2}}$

단계 3.2.1.2.1.5

$- 7$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{2 x^{2} - 7 x + 2 x - 7 - x^{2} - (- 7 x) - - 8}{{(x + 1)}^{2}}$

단계 3.2.1.2.2

$- 7 x$ 를 $2 x$ 에 더합니다.

$\frac{2 x^{2} - 5 x - 7 - x^{2} - (- 7 x) - - 8}{{(x + 1)}^{2}}$

단계 3.2.1.3

$- 7$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{2 x^{2} - 5 x - 7 - x^{2} + 7 x - - 8}{{(x + 1)}^{2}}$

단계 3.2.1.4

$- 1$ 에 $- 8$ 을 곱합니다.

$\frac{2 x^{2} - 5 x - 7 - x^{2} + 7 x + 8}{{(x + 1)}^{2}}$

단계 3.2.2

$2 x^{2}$ 에서 $x^{2}$ 을 뺍니다.

$\frac{x^{2} - 5 x - 7 + 7 x + 8}{{(x + 1)}^{2}}$

단계 3.2.3

$- 5 x$ 를 $7 x$ 에 더합니다.

$\frac{x^{2} + 2 x - 7 + 8}{{(x + 1)}^{2}}$

단계 3.2.4

$- 7$ 를 $8$ 에 더합니다.

$\frac{x^{2} + 2 x + 1}{{(x + 1)}^{2}}$

단계 3.3

완전제곱 법칙을 이용하여 인수분해합니다.

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단계 3.3.1

$1$ 을 $1^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{x^{2} + 2 x + 1^{2}}{{(x + 1)}^{2}}$

단계 3.3.2

중간 항이 첫 번째 항 및 세 번째 항에서 제곱되는 수를 곱한 값의 두 배인지 확인합니다.

$2 x = 2 \cdot x \cdot 1$

단계 3.3.3

다항식을 다시 씁니다.

$\frac{x^{2} + 2 \cdot x \cdot 1 + 1^{2}}{{(x + 1)}^{2}}$

단계 3.3.4

$a = x$ 이고 $b = 1$ 일 때 완전제곱 삼항식 법칙 $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ 을 이용하여 인수분해합니다.

$\frac{{(x + 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}}$

단계 3.4

${(x + 1)}^{2}$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 3.4.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{{(x + 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}}$

단계 3.4.2

수식을 다시 씁니다.

$1$