미적분 예제

$f (x) = (6 x + 5) (x^{3} - 2)$

단계 1

$f (x) = 6 x + 5$ , $g (x) = x^{3} - 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$(6 x + 5) \frac{d}{d x} [x^{3} - 2] + (x^{3} - 2) \frac{d}{d x} [6 x + 5]$

단계 2

미분합니다.

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단계 2.1

합의 법칙에 의해 $x^{3} - 2$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2]$ 가 됩니다.

$(6 x + 5) (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2]) + (x^{3} - 2) \frac{d}{d x} [6 x + 5]$

단계 2.2

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$(6 x + 5) (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 2]) + (x^{3} - 2) \frac{d}{d x} [6 x + 5]$

단계 2.3

$- 2$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 2$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 2$ 입니다.

$(6 x + 5) (3 x^{2} + 0) + (x^{3} - 2) \frac{d}{d x} [6 x + 5]$

단계 2.4

식을 간단히 합니다.

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단계 2.4.1

$3 x^{2}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$(6 x + 5) (3 x^{2}) + (x^{3} - 2) \frac{d}{d x} [6 x + 5]$

단계 2.4.2

$6 x + 5$ 의 왼쪽으로 $3$ 이동하기

$3 \cdot (6 x + 5) x^{2} + (x^{3} - 2) \frac{d}{d x} [6 x + 5]$

단계 2.5

합의 법칙에 의해 $6 x + 5$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [5]$ 가 됩니다.

$3 (6 x + 5) x^{2} + (x^{3} - 2) (\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [5])$

단계 2.6

$6$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $6 x$ 의 미분은 $6 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$3 (6 x + 5) x^{2} + (x^{3} - 2) (6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5])$

단계 2.7

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$3 (6 x + 5) x^{2} + (x^{3} - 2) (6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5])$

단계 2.8

$6$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$3 (6 x + 5) x^{2} + (x^{3} - 2) (6 + \frac{d}{d x} [5])$

단계 2.9

$5$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $5$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $5$ 입니다.

$3 (6 x + 5) x^{2} + (x^{3} - 2) (6 + 0)$

단계 2.10

식을 간단히 합니다.

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단계 2.10.1

$6$ 를 $0$ 에 더합니다.

$3 (6 x + 5) x^{2} + (x^{3} - 2) \cdot 6$

단계 2.10.2

$x^{3} - 2$ 의 왼쪽으로 $6$ 이동하기

$3 (6 x + 5) x^{2} + 6 \cdot (x^{3} - 2)$

단계 3

간단히 합니다.

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단계 3.1

분배 법칙을 적용합니다.

$(3 (6 x) + 3 \cdot 5) x^{2} + 6 (x^{3} - 2)$

단계 3.2

분배 법칙을 적용합니다.

$3 (6 x) x^{2} + 3 \cdot 5 x^{2} + 6 (x^{3} - 2)$

단계 3.3

분배 법칙을 적용합니다.

$3 (6 x) x^{2} + 3 \cdot 5 x^{2} + 6 x^{3} + 6 \cdot - 2$

단계 3.4

항을 묶습니다.

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단계 3.4.1

$6$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$18 x \cdot x^{2} + 3 \cdot 5 x^{2} + 6 x^{3} + 6 \cdot - 2$

단계 3.4.2

지수를 더하여 $x$ 에 $x^{2}$ 을 곱합니다.

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단계 3.4.2.1

$x^{2}$ 를 옮깁니다.

$18 (x^{2} x) + 3 \cdot 5 x^{2} + 6 x^{3} + 6 \cdot - 2$

단계 3.4.2.2

$x^{2}$ 에 $x$ 을 곱합니다.

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단계 3.4.2.2.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$18 (x^{2} x^{1}) + 3 \cdot 5 x^{2} + 6 x^{3} + 6 \cdot - 2$

단계 3.4.2.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$18 x^{2 + 1} + 3 \cdot 5 x^{2} + 6 x^{3} + 6 \cdot - 2$

단계 3.4.2.3

$2$ 를 $1$ 에 더합니다.

$18 x^{3} + 3 \cdot 5 x^{2} + 6 x^{3} + 6 \cdot - 2$

단계 3.4.3

$3$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$18 x^{3} + 15 x^{2} + 6 x^{3} + 6 \cdot - 2$

단계 3.4.4

$6$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$18 x^{3} + 15 x^{2} + 6 x^{3} - 12$

단계 3.4.5

$18 x^{3}$ 를 $6 x^{3}$ 에 더합니다.

$24 x^{3} + 15 x^{2} - 12$