미적분 예제

$x^{2} \arctan (9 x)$

단계 1

$f (x) = x^{2}$ , $g (x) = \arctan (9 x)$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x^{2} \frac{d}{d x} [\arctan (9 x)] + \arctan (9 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 2

$f (x) = \arctan (x)$ , $g (x) = 9 x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $9 x$ 로 바꿉니다.

$x^{2} (\frac{d}{d u} [\arctan (u)] \frac{d}{d x} [9 x]) + \arctan (9 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 2.2

$\arctan (u)$ 를 $u$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{1 + u^{2}}$ 입니다.

$x^{2} (\frac{1}{1 + u^{2}} \frac{d}{d x} [9 x]) + \arctan (9 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 2.3

$u$ 를 모두 $9 x$ 로 바꿉니다.

$x^{2} (\frac{1}{1 + {(9 x)}^{2}} \frac{d}{d x} [9 x]) + \arctan (9 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 3

미분합니다.

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단계 3.1

$9 x$ 에서 $9$ 를 인수분해합니다.

$x^{2} (\frac{1}{1 + {(9 (x))}^{2}} \frac{d}{d x} [9 x]) + \arctan (9 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 3.2

분수를 통분합니다.

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단계 3.2.1

식을 간단히 합니다.

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단계 3.2.1.1

$9 (x)$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$x^{2} (\frac{1}{1 + 9^{2} x^{2}} \frac{d}{d x} [9 x]) + \arctan (9 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 3.2.1.2

$9$ 를 $2$ 승 합니다.

$x^{2} (\frac{1}{1 + 81 x^{2}} \frac{d}{d x} [9 x]) + \arctan (9 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 3.2.2

$\frac{1}{1 + 81 x^{2}}$ 와 $x^{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{x^{2}}{1 + 81 x^{2}} \frac{d}{d x} [9 x] + \arctan (9 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 3.3

$9$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $9 x$ 의 미분은 $9 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$\frac{x^{2}}{1 + 81 x^{2}} (9 \frac{d}{d x} [x]) + \arctan (9 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 3.4

$9$ 와 $\frac{x^{2}}{1 + 81 x^{2}}$ 을 묶습니다.

$\frac{9 x^{2}}{1 + 81 x^{2}} \frac{d}{d x} [x] + \arctan (9 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 3.5

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{9 x^{2}}{1 + 81 x^{2}} \cdot 1 + \arctan (9 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 3.6

$\frac{9 x^{2}}{1 + 81 x^{2}}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{9 x^{2}}{1 + 81 x^{2}} + \arctan (9 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 3.7

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{9 x^{2}}{1 + 81 x^{2}} + \arctan (9 x) (2 x)$

단계 4

공통 분모를 가지는 분수로 $\arctan (9 x) (2 x)$ 을 표현하기 위해 $\frac{1 + 81 x^{2}}{1 + 81 x^{2}}$ 을 곱합니다.

$\frac{9 x^{2}}{1 + 81 x^{2}} + \frac{\arctan (9 x) (2 x) (1 + 81 x^{2})}{1 + 81 x^{2}}$

단계 5

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{9 x^{2} + \arctan (9 x) (2 x) (1 + 81 x^{2})}{1 + 81 x^{2}}$

단계 6

간단히 합니다.

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단계 6.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{9 x^{2} + \arctan (9 x) (2 x) \cdot 1 + \arctan (9 x) (2 x) (81 x^{2})}{1 + 81 x^{2}}$

단계 6.2

분자를 간단히 합니다.

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단계 6.2.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 6.2.1.1

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$\frac{9 x^{2} + 2 \arctan (9 x) x \cdot 1 + \arctan (9 x) (2 x) (81 x^{2})}{1 + 81 x^{2}}$

단계 6.2.1.2

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{9 x^{2} + 2 \arctan (9 x) x + \arctan (9 x) (2 x) (81 x^{2})}{1 + 81 x^{2}}$

단계 6.2.1.3

지수를 더하여 $x$ 에 $x^{2}$ 을 곱합니다.

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단계 6.2.1.3.1

$x^{2}$ 를 옮깁니다.

$\frac{9 x^{2} + 2 \arctan (9 x) x + \arctan (9 x) (2 (x^{2} x)) \cdot 81}{1 + 81 x^{2}}$

단계 6.2.1.3.2

$x^{2}$ 에 $x$ 을 곱합니다.

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단계 6.2.1.3.2.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{9 x^{2} + 2 \arctan (9 x) x + \arctan (9 x) (2 (x^{2} x^{1})) \cdot 81}{1 + 81 x^{2}}$

단계 6.2.1.3.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{9 x^{2} + 2 \arctan (9 x) x + \arctan (9 x) (2 x^{2 + 1}) \cdot 81}{1 + 81 x^{2}}$

단계 6.2.1.3.3

$2$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{9 x^{2} + 2 \arctan (9 x) x + \arctan (9 x) (2 x^{3}) \cdot 81}{1 + 81 x^{2}}$

단계 6.2.1.4

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$\frac{9 x^{2} + 2 \arctan (9 x) x + 2 \arctan (9 x) x^{3} \cdot 81}{1 + 81 x^{2}}$

단계 6.2.1.5

$81$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{9 x^{2} + 2 \arctan (9 x) x + 162 \arctan (9 x) x^{3}}{1 + 81 x^{2}}$

단계 6.2.2

$9 x^{2} + 2 \arctan (9 x) x + 162 \arctan (9 x) x^{3}$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$\frac{9 x^{2} + 2 x \arctan (9 x) + 162 x^{3} \arctan (9 x)}{1 + 81 x^{2}}$

단계 6.3

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{9 x^{2} + 2 x \arctan (9 x) + 162 x^{3} \arctan (9 x)}{81 x^{2} + 1}$