미적분 예제

$x^{2} \ln (2 x + 1)$

단계 1

$f (x) = x^{2}$ , $g (x) = \ln (2 x + 1)$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x^{2} \frac{d}{d x} [\ln (2 x + 1)] + \ln (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 2

$f (x) = \ln (x)$ , $g (x) = 2 x + 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $2 x + 1$ 로 바꿉니다.

$x^{2} (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [2 x + 1]) + \ln (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 2.2

$\ln (u)$ 를 $u$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{u}$ 입니다.

$x^{2} (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [2 x + 1]) + \ln (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 2.3

$u$ 를 모두 $2 x + 1$ 로 바꿉니다.

$x^{2} (\frac{1}{2 x + 1} \frac{d}{d x} [2 x + 1]) + \ln (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 3

미분합니다.

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단계 3.1

$\frac{1}{2 x + 1}$ 와 $x^{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{x^{2}}{2 x + 1} \frac{d}{d x} [2 x + 1] + \ln (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 3.2

합의 법칙에 의해 $2 x + 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ 가 됩니다.

$\frac{x^{2}}{2 x + 1} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]) + \ln (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 3.3

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 x$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$\frac{x^{2}}{2 x + 1} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) + \ln (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 3.4

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{x^{2}}{2 x + 1} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]) + \ln (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 3.5

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{x^{2}}{2 x + 1} (2 + \frac{d}{d x} [1]) + \ln (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 3.6

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$\frac{x^{2}}{2 x + 1} (2 + 0) + \ln (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 3.7

분수를 통분합니다.

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단계 3.7.1

$2$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{x^{2}}{2 x + 1} \cdot 2 + \ln (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 3.7.2

$\frac{x^{2}}{2 x + 1}$ 와 $2$ 을 묶습니다.

$\frac{x^{2} \cdot 2}{2 x + 1} + \ln (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 3.7.3

$x^{2}$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$\frac{2 \cdot x^{2}}{2 x + 1} + \ln (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 3.8

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{2 x^{2}}{2 x + 1} + \ln (2 x + 1) (2 x)$

단계 4

공통 분모를 가지는 분수로 $\ln (2 x + 1) (2 x)$ 을 표현하기 위해 $\frac{2 x + 1}{2 x + 1}$ 을 곱합니다.

$\frac{2 x^{2}}{2 x + 1} + \frac{\ln (2 x + 1) (2 x) (2 x + 1)}{2 x + 1}$

단계 5

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{2 x^{2} + \ln (2 x + 1) (2 x) (2 x + 1)}{2 x + 1}$

단계 6

분자를 간단히 합니다.

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단계 6.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 6.1.1

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$\frac{2 x^{2} + 2 \ln (2 x + 1) x (2 x + 1)}{2 x + 1}$

단계 6.1.2

$2$ 를 로그 안으로 옮겨 $2 \ln (2 x + 1)$ 을 간단히 합니다.

$\frac{2 x^{2} + \ln ({(2 x + 1)}^{2}) x (2 x + 1)}{2 x + 1}$

단계 6.1.3

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{2 x^{2} + \ln ({(2 x + 1)}^{2}) x (2 x) + \ln ({(2 x + 1)}^{2}) x \cdot 1}{2 x + 1}$

단계 6.1.4

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$\frac{2 x^{2} + 2 \ln ({(2 x + 1)}^{2}) x \cdot x + \ln ({(2 x + 1)}^{2}) x \cdot 1}{2 x + 1}$

단계 6.1.5

$\ln ({(2 x + 1)}^{2})$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{2 x^{2} + 2 \ln ({(2 x + 1)}^{2}) x \cdot x + x \cdot \ln ({(2 x + 1)}^{2})}{2 x + 1}$

단계 6.1.6

각 항을 간단히 합니다.

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단계 6.1.6.1

지수를 더하여 $x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

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단계 6.1.6.1.1

$x$ 를 옮깁니다.

$\frac{2 x^{2} + 2 \ln ({(2 x + 1)}^{2}) (x \cdot x) + x \cdot \ln ({(2 x + 1)}^{2})}{2 x + 1}$

단계 6.1.6.1.2

$x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

$\frac{2 x^{2} + 2 \ln ({(2 x + 1)}^{2}) x^{2} + x \cdot \ln ({(2 x + 1)}^{2})}{2 x + 1}$

단계 6.1.6.2

$2$ 를 로그 안으로 옮겨 $2 \ln ({(2 x + 1)}^{2})$ 을 간단히 합니다.

$\frac{2 x^{2} + \ln ({({(2 x + 1)}^{2})}^{2}) x^{2} + x \cdot \ln ({(2 x + 1)}^{2})}{2 x + 1}$

단계 6.1.6.3

${({(2 x + 1)}^{2})}^{2}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 6.1.6.3.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\frac{2 x^{2} + \ln ({(2 x + 1)}^{2 \cdot 2}) x^{2} + x \cdot \ln ({(2 x + 1)}^{2})}{2 x + 1}$

단계 6.1.6.3.2

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{2 x^{2} + \ln ({(2 x + 1)}^{4}) x^{2} + x \cdot \ln ({(2 x + 1)}^{2})}{2 x + 1}$

$\frac{2 x^{2} + \ln ({(2 x + 1)}^{4}) x^{2} + x \ln ({(2 x + 1)}^{2})}{2 x + 1}$

단계 6.2

$2 x^{2} + \ln ({(2 x + 1)}^{4}) x^{2} + x \ln ({(2 x + 1)}^{2})$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$\frac{2 x^{2} + x^{2} \ln ({(2 x + 1)}^{4}) + x \ln ({(2 x + 1)}^{2})}{2 x + 1}$