미적분 예제

$x^{5} \sin^{2} (3 x)$

단계 1

$f (x) = x^{5}$ , $g (x) = \sin^{2} (3 x)$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x^{5} \frac{d}{d x} [\sin^{2} (3 x)] + \sin^{2} (3 x) \frac{d}{d x} [x^{5}]$

단계 2

$f (x) = x^{2}$ , $g (x) = \sin (3 x)$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{1}$ 를 $\sin (3 x)$ 로 바꿉니다.

$x^{5} (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]) + \sin^{2} (3 x) \frac{d}{d x} [x^{5}]$

단계 2.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 는 $n {u_{1}}^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x^{5} (2 u_{1} \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]) + \sin^{2} (3 x) \frac{d}{d x} [x^{5}]$

단계 2.3

$u_{1}$ 를 모두 $\sin (3 x)$ 로 바꿉니다.

$x^{5} (2 \sin (3 x) \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]) + \sin^{2} (3 x) \frac{d}{d x} [x^{5}]$

단계 3

$f (x) = \sin (x)$ , $g (x) = 3 x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 3.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{2}$ 를 $3 x$ 로 바꿉니다.

$x^{5} (2 \sin (3 x) (\frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d x} [3 x])) + \sin^{2} (3 x) \frac{d}{d x} [x^{5}]$

단계 3.2

$\sin (u_{2})$ 를 $u_{2}$ 에 대해 미분하면 $\cos (u_{2})$ 입니다.

$x^{5} (2 \sin (3 x) (\cos (u_{2}) \frac{d}{d x} [3 x])) + \sin^{2} (3 x) \frac{d}{d x} [x^{5}]$

단계 3.3

$u_{2}$ 를 모두 $3 x$ 로 바꿉니다.

$x^{5} (2 \sin (3 x) (\cos (3 x) \frac{d}{d x} [3 x])) + \sin^{2} (3 x) \frac{d}{d x} [x^{5}]$

단계 4

미분합니다.

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단계 4.1

$3$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $3 x$ 의 미분은 $3 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$x^{5} (2 \sin (3 x) \cos (3 x) (3 \frac{d}{d x} [x])) + \sin^{2} (3 x) \frac{d}{d x} [x^{5}]$

단계 4.2

$3$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$x^{5} (6 \sin (3 x) \cos (3 x) \frac{d}{d x} [x]) + \sin^{2} (3 x) \frac{d}{d x} [x^{5}]$

단계 4.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x^{5} (6 \sin (3 x) \cos (3 x) \cdot 1) + \sin^{2} (3 x) \frac{d}{d x} [x^{5}]$

단계 4.4

$6$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$x^{5} (6 \sin (3 x) \cos (3 x)) + \sin^{2} (3 x) \frac{d}{d x} [x^{5}]$

단계 4.5

$n = 5$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x^{5} (6 \sin (3 x) \cos (3 x)) + \sin^{2} (3 x) (5 x^{4})$

단계 4.6

항을 다시 정렬합니다.

$6 x^{5} \cos (3 x) \sin (3 x) + 5 x^{4} \sin^{2} (3 x)$