미적분 예제

$\frac{x - 2}{x^{2} + 4 x - 12}$

단계 1

$f (x) = x - 2$ , $g (x) = x^{2} + 4 x - 12$ 일 때 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 는 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ 이라는 몫의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{(x^{2} + 4 x - 12) \frac{d}{d x} [x - 2] - (x - 2) \frac{d}{d x} [x^{2} + 4 x - 12]}{{(x^{2} + 4 x - 12)}^{2}}$

단계 2

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

합의 법칙에 의해 $x - 2$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ 가 됩니다.

$\frac{(x^{2} + 4 x - 12) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]) - (x - 2) \frac{d}{d x} [x^{2} + 4 x - 12]}{{(x^{2} + 4 x - 12)}^{2}}$

단계 2.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{(x^{2} + 4 x - 12) (1 + \frac{d}{d x} [- 2]) - (x - 2) \frac{d}{d x} [x^{2} + 4 x - 12]}{{(x^{2} + 4 x - 12)}^{2}}$

단계 2.3

$- 2$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 2$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 2$ 입니다.

$\frac{(x^{2} + 4 x - 12) (1 + 0) - (x - 2) \frac{d}{d x} [x^{2} + 4 x - 12]}{{(x^{2} + 4 x - 12)}^{2}}$

단계 2.4

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.1

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{(x^{2} + 4 x - 12) \cdot 1 - (x - 2) \frac{d}{d x} [x^{2} + 4 x - 12]}{{(x^{2} + 4 x - 12)}^{2}}$

단계 2.4.2

$x^{2} + 4 x - 12$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{x^{2} + 4 x - 12 - (x - 2) \frac{d}{d x} [x^{2} + 4 x - 12]}{{(x^{2} + 4 x - 12)}^{2}}$

단계 2.5

합의 법칙에 의해 $x^{2} + 4 x - 12$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 12]$ 가 됩니다.

$\frac{x^{2} + 4 x - 12 - (x - 2) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 12])}{{(x^{2} + 4 x - 12)}^{2}}$

단계 2.6

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{x^{2} + 4 x - 12 - (x - 2) (2 x + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 12])}{{(x^{2} + 4 x - 12)}^{2}}$

단계 2.7

$4$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $4 x$ 의 미분은 $4 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$\frac{x^{2} + 4 x - 12 - (x - 2) (2 x + 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 12])}{{(x^{2} + 4 x - 12)}^{2}}$

단계 2.8

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{x^{2} + 4 x - 12 - (x - 2) (2 x + 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 12])}{{(x^{2} + 4 x - 12)}^{2}}$

단계 2.9

$4$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{x^{2} + 4 x - 12 - (x - 2) (2 x + 4 + \frac{d}{d x} [- 12])}{{(x^{2} + 4 x - 12)}^{2}}$

단계 2.10

$- 12$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 12$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 12$ 입니다.

$\frac{x^{2} + 4 x - 12 - (x - 2) (2 x + 4 + 0)}{{(x^{2} + 4 x - 12)}^{2}}$

단계 2.11

$2 x + 4$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{x^{2} + 4 x - 12 - (x - 2) (2 x + 4)}{{(x^{2} + 4 x - 12)}^{2}}$

단계 3

간단히 합니다.

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단계 3.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{x^{2} + 4 x - 12 + (- x - - 2) (2 x + 4)}{{(x^{2} + 4 x - 12)}^{2}}$

단계 3.2

분자를 간단히 합니다.

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단계 3.2.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 3.2.1.1

$- 1$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$\frac{x^{2} + 4 x - 12 + (- x + 2) (2 x + 4)}{{(x^{2} + 4 x - 12)}^{2}}$

단계 3.2.1.2

FOIL 계산법을 이용하여 $(- x + 2) (2 x + 4)$ 를 전개합니다.

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단계 3.2.1.2.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{x^{2} + 4 x - 12 - x (2 x + 4) + 2 (2 x + 4)}{{(x^{2} + 4 x - 12)}^{2}}$

단계 3.2.1.2.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{x^{2} + 4 x - 12 - x (2 x) - x \cdot 4 + 2 (2 x + 4)}{{(x^{2} + 4 x - 12)}^{2}}$

단계 3.2.1.2.3

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{x^{2} + 4 x - 12 - x (2 x) - x \cdot 4 + 2 (2 x) + 2 \cdot 4}{{(x^{2} + 4 x - 12)}^{2}}$

단계 3.2.1.3

동류항끼리 묶고 식을 간단히 합니다.

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단계 3.2.1.3.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 3.2.1.3.1.1

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$\frac{x^{2} + 4 x - 12 - 1 \cdot 2 x \cdot x - x \cdot 4 + 2 (2 x) + 2 \cdot 4}{{(x^{2} + 4 x - 12)}^{2}}$

단계 3.2.1.3.1.2

지수를 더하여 $x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

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단계 3.2.1.3.1.2.1

$x$ 를 옮깁니다.

$\frac{x^{2} + 4 x - 12 - 1 \cdot 2 (x \cdot x) - x \cdot 4 + 2 (2 x) + 2 \cdot 4}{{(x^{2} + 4 x - 12)}^{2}}$

단계 3.2.1.3.1.2.2

$x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

$\frac{x^{2} + 4 x - 12 - 1 \cdot 2 x^{2} - x \cdot 4 + 2 (2 x) + 2 \cdot 4}{{(x^{2} + 4 x - 12)}^{2}}$

단계 3.2.1.3.1.3

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{x^{2} + 4 x - 12 - 2 x^{2} - x \cdot 4 + 2 (2 x) + 2 \cdot 4}{{(x^{2} + 4 x - 12)}^{2}}$

단계 3.2.1.3.1.4

$4$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{x^{2} + 4 x - 12 - 2 x^{2} - 4 x + 2 (2 x) + 2 \cdot 4}{{(x^{2} + 4 x - 12)}^{2}}$

단계 3.2.1.3.1.5

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{x^{2} + 4 x - 12 - 2 x^{2} - 4 x + 4 x + 2 \cdot 4}{{(x^{2} + 4 x - 12)}^{2}}$

단계 3.2.1.3.1.6

$2$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$\frac{x^{2} + 4 x - 12 - 2 x^{2} - 4 x + 4 x + 8}{{(x^{2} + 4 x - 12)}^{2}}$

단계 3.2.1.3.2

$- 4 x$ 를 $4 x$ 에 더합니다.

$\frac{x^{2} + 4 x - 12 - 2 x^{2} + 0 + 8}{{(x^{2} + 4 x - 12)}^{2}}$

단계 3.2.1.3.3

$- 2 x^{2}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{x^{2} + 4 x - 12 - 2 x^{2} + 8}{{(x^{2} + 4 x - 12)}^{2}}$

단계 3.2.2

$x^{2}$ 에서 $2 x^{2}$ 을 뺍니다.

$\frac{- x^{2} + 4 x - 12 + 8}{{(x^{2} + 4 x - 12)}^{2}}$

단계 3.2.3

$- 12$ 를 $8$ 에 더합니다.

$\frac{- x^{2} + 4 x - 4}{{(x^{2} + 4 x - 12)}^{2}}$

단계 3.3

공통인수를 이용하여 인수분해를 합니다.

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단계 3.3.1

$a x^{2} + b x + c$ 형태의 다항식에 대해 곱이 $a \cdot c = - 1 \cdot - 4 = 4$ 이고 합이 $b = 4$ 인 두 항의 합으로 중간항을 다시 씁니다.

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단계 3.3.1.1

$4 x$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$\frac{- x^{2} + 4 (x) - 4}{{(x^{2} + 4 x - 12)}^{2}}$

단계 3.3.1.2

$4$ 를 $2$ + $2$ 로 다시 씁니다.

$\frac{- x^{2} + (2 + 2) x - 4}{{(x^{2} + 4 x - 12)}^{2}}$

단계 3.3.1.3

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{- x^{2} + 2 x + 2 x - 4}{{(x^{2} + 4 x - 12)}^{2}}$

단계 3.3.2

각 그룹에서 최대공약수를 밖으로 뺍니다.

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단계 3.3.2.1

처음 두 항과 마지막 두 항을 묶습니다.

$\frac{(- x^{2} + 2 x) + 2 x - 4}{{(x^{2} + 4 x - 12)}^{2}}$

단계 3.3.2.2

각 그룹에서 최대공약수를 밖으로 뺍니다.

$\frac{x (- x + 2) - 2 (- x + 2)}{{(x^{2} + 4 x - 12)}^{2}}$

단계 3.3.3

최대공약수 $- x + 2$ 을 밖으로 빼어 다항식을 인수분해합니다.

$\frac{(- x + 2) (x - 2)}{{(x^{2} + 4 x - 12)}^{2}}$

단계 3.4

분모를 간단히 합니다.

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단계 3.4.1

AC 방법을 이용하여 $x^{2} + 4 x - 12$ 를 인수분해합니다.

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단계 3.4.1.1

$x^{2} + b x + c$ 형태를 이용합니다. 곱이 $c$ 이고 합이 $b$ 인 정수 쌍을 찾습니다. 이 경우 곱은 $- 12$ 이고 합은 $4$ 입니다.

$- 2, 6$

단계 3.4.1.2

이 정수들을 이용하여 인수분해된 형태를 씁니다.

$\frac{(- x + 2) (x - 2)}{{((x - 2) (x + 6))}^{2}}$

단계 3.4.2

$(x - 2) (x + 6)$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$\frac{(- x + 2) (x - 2)}{{(x - 2)}^{2} {(x + 6)}^{2}}$

단계 3.5

분자를 간단히 합니다.

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단계 3.5.1

$- x$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{(- (x) + 2) (x - 2)}{{(x - 2)}^{2} {(x + 6)}^{2}}$

단계 3.5.2

$2$ 을 $- 1 (- 2)$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{(- (x) - 1 (- 2)) (x - 2)}{{(x - 2)}^{2} {(x + 6)}^{2}}$

단계 3.5.3

$- (x) - 1 (- 2)$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{- (x - 2) (x - 2)}{{(x - 2)}^{2} {(x + 6)}^{2}}$

단계 3.5.4

$- (x - 2)$ 을 $- 1 (x - 2)$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{- 1 (x - 2) (x - 2)}{{(x - 2)}^{2} {(x + 6)}^{2}}$

단계 3.5.5

$x - 2$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{- 1 ({(x - 2)}^{1} (x - 2))}{{(x - 2)}^{2} {(x + 6)}^{2}}$

단계 3.5.6

$x - 2$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{- 1 ({(x - 2)}^{1} {(x - 2)}^{1})}{{(x - 2)}^{2} {(x + 6)}^{2}}$

단계 3.5.7

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{- 1 {(x - 2)}^{1 + 1}}{{(x - 2)}^{2} {(x + 6)}^{2}}$

단계 3.5.8

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{- 1 {(x - 2)}^{2}}{{(x - 2)}^{2} {(x + 6)}^{2}}$

단계 3.6

${(x - 2)}^{2}$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 3.6.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{- 1 {(x - 2)}^{2}}{{(x - 2)}^{2} {(x + 6)}^{2}}$

단계 3.6.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{- 1}{{(x + 6)}^{2}}$

단계 3.7

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{1}{{(x + 6)}^{2}}$