미적분 예제

$\frac{x y}{x^{2} + y^{2}}$

단계 1

$y$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $\frac{x y}{x^{2} + y^{2}}$ 의 미분은 $y \frac{d}{d x} [\frac{x}{x^{2} + y^{2}}]$ 입니다.

$y \frac{d}{d x} [\frac{x}{x^{2} + y^{2}}]$

단계 2

$f (x) = x$ , $g (x) = x^{2} + y^{2}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 는 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ 이라는 몫의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$y \frac{(x^{2} + y^{2}) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

단계 3

미분합니다.

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단계 3.1

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$y \frac{(x^{2} + y^{2}) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

단계 3.2

$x^{2} + y^{2}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$y \frac{x^{2} + y^{2} - x \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

단계 3.3

합의 법칙에 의해 $x^{2} + y^{2}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$ 가 됩니다.

$y \frac{x^{2} + y^{2} - x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}])}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

단계 3.4

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$y \frac{x^{2} + y^{2} - x (2 x + \frac{d}{d x} [y^{2}])}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

단계 3.5

$y^{2}$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $y^{2}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $y^{2}$ 입니다.

$y \frac{x^{2} + y^{2} - x (2 x + 0)}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

단계 3.6

식을 간단히 합니다.

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단계 3.6.1

$2 x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$y \frac{x^{2} + y^{2} - x (2 x)}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

단계 3.6.2

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$y \frac{x^{2} + y^{2} - 2 x \cdot x}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

단계 4

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$y \frac{x^{2} + y^{2} - 2 (x^{1} x)}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

단계 5

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$y \frac{x^{2} + y^{2} - 2 (x^{1} x^{1})}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

단계 6

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$y \frac{x^{2} + y^{2} - 2 x^{1 + 1}}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

단계 7

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$y \frac{x^{2} + y^{2} - 2 x^{2}}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

단계 8

$x^{2}$ 에서 $2 x^{2}$ 을 뺍니다.

$y \frac{- x^{2} + y^{2}}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

단계 9

$y$ 와 $\frac{- x^{2} + y^{2}}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$ 을 묶습니다.

$\frac{y (- x^{2} + y^{2})}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

단계 10

간단히 합니다.

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단계 10.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{y (- x^{2}) + y \cdot y^{2}}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

단계 10.2

각 항을 간단히 합니다.

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단계 10.2.1

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$\frac{- y x^{2} + y \cdot y^{2}}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

단계 10.2.2

지수를 더하여 $y$ 에 $y^{2}$ 을 곱합니다.

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단계 10.2.2.1

$y$ 에 $y^{2}$ 을 곱합니다.

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단계 10.2.2.1.1

$y$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{- y x^{2} + y^{1} y^{2}}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

단계 10.2.2.1.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{- y x^{2} + y^{1 + 2}}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

단계 10.2.2.2

$1$ 를 $2$ 에 더합니다.

$\frac{- y x^{2} + y^{3}}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

단계 10.3

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{y^{3} - x^{2} y}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

단계 10.4

분자를 간단히 합니다.

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단계 10.4.1

$y^{3} - x^{2} y$ 에서 $y$ 를 인수분해합니다.

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단계 10.4.1.1

$y^{3}$ 에서 $y$ 를 인수분해합니다.

$\frac{y \cdot y^{2} - x^{2} y}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

단계 10.4.1.2

$- x^{2} y$ 에서 $y$ 를 인수분해합니다.

$\frac{y \cdot y^{2} + y (- x^{2})}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

단계 10.4.1.3

$y \cdot y^{2} + y (- x^{2})$ 에서 $y$ 를 인수분해합니다.

$\frac{y (y^{2} - x^{2})}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

단계 10.4.2

두 항 모두 완전제곱식이므로, 제곱의 차 공식 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 $a = y$ 이고 $b = x$ 입니다.

$\frac{y (y + x) (y - x)}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$