미적분 예제

$3 x - 5 \cos^{2} (π x)$

단계 1

합의 법칙에 의해 $3 x - 5 \cos^{2} (π x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 5 \cos^{2} (π x)]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 5 \cos^{2} (π x)]$

단계 2

$\frac{d}{d x} [3 x]$ 의 값을 구합니다.

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단계 2.1

$3$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $3 x$ 의 미분은 $3 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5 \cos^{2} (π x)]$

단계 2.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 5 \cos^{2} (π x)]$

단계 2.3

$3$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$3 + \frac{d}{d x} [- 5 \cos^{2} (π x)]$

단계 3

$\frac{d}{d x} [- 5 \cos^{2} (π x)]$ 의 값을 구합니다.

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단계 3.1

$- 5$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 5 \cos^{2} (π x)$ 의 미분은 $- 5 \frac{d}{d x} [\cos^{2} (π x)]$ 입니다.

$3 - 5 \frac{d}{d x} [\cos^{2} (π x)]$

단계 3.2

$f (x) = x^{2}$ , $g (x) = \cos (π x)$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 3.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{1}$ 를 $\cos (π x)$ 로 바꿉니다.

$3 - 5 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [\cos (π x)])$

단계 3.2.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 는 $n {u_{1}}^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$3 - 5 (2 u_{1} \frac{d}{d x} [\cos (π x)])$

단계 3.2.3

$u_{1}$ 를 모두 $\cos (π x)$ 로 바꿉니다.

$3 - 5 (2 \cos (π x) \frac{d}{d x} [\cos (π x)])$

단계 3.3

$f (x) = \cos (x)$ , $g (x) = π x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 3.3.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{2}$ 를 $π x$ 로 바꿉니다.

$3 - 5 (2 \cos (π x) (\frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d x} [π x]))$

단계 3.3.2

$\cos (u_{2})$ 를 $u_{2}$ 에 대해 미분하면 $- \sin (u_{2})$ 입니다.

$3 - 5 (2 \cos (π x) (- \sin (u_{2}) \frac{d}{d x} [π x]))$

단계 3.3.3

$u_{2}$ 를 모두 $π x$ 로 바꿉니다.

$3 - 5 (2 \cos (π x) (- \sin (π x) \frac{d}{d x} [π x]))$

단계 3.4

$π$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $π x$ 의 미분은 $π \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$3 - 5 (2 \cos (π x) (- \sin (π x) (π \frac{d}{d x} [x])))$

단계 3.5

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$3 - 5 (2 \cos (π x) (- \sin (π x) (π \cdot 1)))$

단계 3.6

$π$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$3 - 5 (2 \cos (π x) (- \sin (π x) π))$

단계 3.7

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$3 - 5 (- 2 \cos (π x) (\sin (π x) π))$

단계 3.8

$- 2$ 에 $- 5$ 을 곱합니다.

$3 + 10 \cos (π x) \sin (π x) π$

단계 4

항을 다시 정렬합니다.

$10 π \cos (π x) \sin (π x) + 3$