미적분 예제

$4 x e^{3 x}$

단계 1

$4$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $4 x e^{3 x}$ 의 미분은 $4 \frac{d}{d x} [x e^{3 x}]$ 입니다.

$4 \frac{d}{d x} [x e^{3 x}]$

단계 2

$f (x) = x$ , $g (x) = e^{3 x}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$4 (x \frac{d}{d x} [e^{3 x}] + e^{3 x} \frac{d}{d x} [x])$

단계 3

$f (x) = e^{x}$ , $g (x) = 3 x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 3.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $3 x$ 로 바꿉니다.

$4 (x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [3 x]) + e^{3 x} \frac{d}{d x} [x])$

단계 3.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 은 $a^{u} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$4 (x (e^{u} \frac{d}{d x} [3 x]) + e^{3 x} \frac{d}{d x} [x])$

단계 3.3

$u$ 를 모두 $3 x$ 로 바꿉니다.

$4 (x (e^{3 x} \frac{d}{d x} [3 x]) + e^{3 x} \frac{d}{d x} [x])$

단계 4

미분합니다.

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단계 4.1

$3$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $3 x$ 의 미분은 $3 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$4 (x (e^{3 x} (3 \frac{d}{d x} [x])) + e^{3 x} \frac{d}{d x} [x])$

단계 4.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$4 (x (e^{3 x} (3 \cdot 1)) + e^{3 x} \frac{d}{d x} [x])$

단계 4.3

식을 간단히 합니다.

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단계 4.3.1

$3$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$4 (x (e^{3 x} \cdot 3) + e^{3 x} \frac{d}{d x} [x])$

단계 4.3.2

$e^{3 x}$ 의 왼쪽으로 $3$ 이동하기

$4 (x (3 \cdot e^{3 x}) + e^{3 x} \frac{d}{d x} [x])$

단계 4.4

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$4 (x (3 e^{3 x}) + e^{3 x} \cdot 1)$

단계 4.5

$e^{3 x}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$4 (x (3 e^{3 x}) + e^{3 x})$

단계 5

간단히 합니다.

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단계 5.1

분배 법칙을 적용합니다.

$4 (x (3 e^{3 x})) + 4 e^{3 x}$

단계 5.2

$3$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$12 x e^{3 x} + 4 e^{3 x}$

단계 5.3

항을 다시 정렬합니다.

$12 e^{3 x} x + 4 e^{3 x}$

단계 5.4

$12 e^{3 x} x + 4 e^{3 x}$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$12 x e^{3 x} + 4 e^{3 x}$