미적분 예제

$\frac{x}{1 + x}$

단계 1

$f (x) = x$ , $g (x) = 1 + x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 는 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ 이라는 몫의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{(1 + x) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [1 + x]}{{(1 + x)}^{2}}$

단계 2

미분합니다.

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단계 2.1

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{(1 + x) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [1 + x]}{{(1 + x)}^{2}}$

단계 2.2

$1 + x$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{1 + x - x \frac{d}{d x} [1 + x]}{{(1 + x)}^{2}}$

단계 2.3

합의 법칙에 의해 $1 + x$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$ 가 됩니다.

$\frac{1 + x - x (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x])}{{(1 + x)}^{2}}$

단계 2.4

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$\frac{1 + x - x (0 + \frac{d}{d x} [x])}{{(1 + x)}^{2}}$

단계 2.5

$0$ 를 $\frac{d}{d x} [x]$ 에 더합니다.

$\frac{1 + x - x \frac{d}{d x} [x]}{{(1 + x)}^{2}}$

단계 2.6

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1 + x - x \cdot 1}{{(1 + x)}^{2}}$

단계 2.7

항을 더해 식을 간단히 합니다.

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단계 2.7.1

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{1 + x - x}{{(1 + x)}^{2}}$

단계 2.7.2

$x$ 에서 $x$ 을 뺍니다.

$\frac{1 + 0}{{(1 + x)}^{2}}$

단계 2.7.3

식을 간단히 합니다.

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단계 2.7.3.1

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{1}{{(1 + x)}^{2}}$

단계 2.7.3.2

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{1}{{(x + 1)}^{2}}$