미적분 예제

$x^{\frac{2}{x}}$

단계 1

로그 성질을 사용하여 미분을 간단히 합니다.

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단계 1.1

$x^{\frac{2}{x}}$ 을 $e^{\ln (x^{\frac{2}{x}})}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{d}{d x} [e^{\ln (x^{\frac{2}{x}})}]$

단계 1.2

$\frac{2}{x}$ 을 로그 밖으로 내보내서 $\ln (x^{\frac{2}{x}})$ 을 전개합니다.

$\frac{d}{d x} [e^{\frac{2}{x} \ln (x)}]$

단계 2

$\frac{2}{x}$ 와 $\ln (x)$ 을 묶습니다.

$\frac{d}{d x} [e^{\frac{2 \ln (x)}{x}}]$

단계 3

$f (x) = e^{x}$ , $g (x) = \frac{2 \ln (x)}{x}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 3.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $\frac{2 \ln (x)}{x}$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [\frac{2 \ln (x)}{x}]$

단계 3.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 은 $a^{u} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$e^{u} \frac{d}{d x} [\frac{2 \ln (x)}{x}]$

단계 3.3

$u$ 를 모두 $\frac{2 \ln (x)}{x}$ 로 바꿉니다.

$e^{\frac{2 \ln (x)}{x}} \frac{d}{d x} [\frac{2 \ln (x)}{x}]$

단계 4

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $\frac{2 \ln (x)}{x}$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [\frac{\ln (x)}{x}]$ 입니다.

$e^{\frac{2 \ln (x)}{x}} (2 \frac{d}{d x} [\frac{\ln (x)}{x}])$

단계 5

$f (x) = \ln (x)$ , $g (x) = x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 는 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ 이라는 몫의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$e^{\frac{2 \ln (x)}{x}} (2 \frac{x \frac{d}{d x} [\ln (x)] - \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}})$

단계 6

$\ln (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{x}$ 입니다.

$e^{\frac{2 \ln (x)}{x}} (2 \frac{x \frac{1}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}})$

단계 7

멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 7.1

$x$ 와 $\frac{1}{x}$ 을 묶습니다.

$e^{\frac{2 \ln (x)}{x}} (2 \frac{\frac{x}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}})$

단계 7.2

$x$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 7.2.1

공약수로 약분합니다.

$e^{\frac{2 \ln (x)}{x}} (2 \frac{\frac{x}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}})$

단계 7.2.2

수식을 다시 씁니다.

$e^{\frac{2 \ln (x)}{x}} (2 \frac{1 - \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}})$

단계 7.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$e^{\frac{2 \ln (x)}{x}} (2 \frac{1 - \ln (x) \cdot 1}{x^{2}})$

단계 7.4

분수를 통분합니다.

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단계 7.4.1

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$e^{\frac{2 \ln (x)}{x}} (2 \frac{1 - \ln (x)}{x^{2}})$

단계 7.4.2

$2$ 와 $\frac{1 - \ln (x)}{x^{2}}$ 을 묶습니다.

$e^{\frac{2 \ln (x)}{x}} \frac{2 (1 - \ln (x))}{x^{2}}$

단계 7.4.3

$e^{\frac{2 \ln (x)}{x}}$ 와 $\frac{2 (1 - \ln (x))}{x^{2}}$ 을 묶습니다.

$\frac{e^{\frac{2 \ln (x)}{x}} (2 (1 - \ln (x)))}{x^{2}}$

단계 8

간단히 합니다.

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단계 8.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{e^{\frac{2 \ln (x)}{x}} (2 \cdot 1 + 2 (- \ln (x)))}{x^{2}}$

단계 8.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{e^{\frac{2 \ln (x)}{x}} (2 \cdot 1) + e^{\frac{2 \ln (x)}{x}} (2 (- \ln (x)))}{x^{2}}$

단계 8.3

분자를 간단히 합니다.

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단계 8.3.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 8.3.1.1

$2$ 를 로그 안으로 옮겨 $2 \ln (x)$ 을 간단히 합니다.

$\frac{e^{\frac{\ln (x^{2})}{x}} (2 \cdot 1) + e^{\frac{2 \ln (x)}{x}} (2 (- \ln (x)))}{x^{2}}$

단계 8.3.1.2

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{e^{\frac{\ln (x^{2})}{x}} \cdot 2 + e^{\frac{2 \ln (x)}{x}} (2 (- \ln (x)))}{x^{2}}$

단계 8.3.1.3

$e^{\frac{\ln (x^{2})}{x}}$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$\frac{2 \cdot e^{\frac{\ln (x^{2})}{x}} + e^{\frac{2 \ln (x)}{x}} (2 (- \ln (x)))}{x^{2}}$

단계 8.3.1.4

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$\frac{2 e^{\frac{\ln (x^{2})}{x}} + 2 \cdot - 1 e^{\frac{2 \ln (x)}{x}} \ln (x)}{x^{2}}$

단계 8.3.1.5

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{2 e^{\frac{\ln (x^{2})}{x}} - 2 e^{\frac{2 \ln (x)}{x}} \ln (x)}{x^{2}}$

단계 8.3.1.6

$2$ 를 로그 안으로 옮겨 $2 \ln (x)$ 을 간단히 합니다.

$\frac{2 e^{\frac{\ln (x^{2})}{x}} - 2 e^{\frac{\ln (x^{2})}{x}} \ln (x)}{x^{2}}$

단계 8.3.1.7

$- 2 e^{\frac{\ln (x^{2})}{x}} \ln (x)$ 을 곱합니다.

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단계 8.3.1.7.1

$\ln (x)$ 와 $- 2$ 을 다시 정렬합니다.

$\frac{2 e^{\frac{\ln (x^{2})}{x}} - 2 \cdot \ln (x) e^{\frac{\ln (x^{2})}{x}}}{x^{2}}$

단계 8.3.1.7.2

$2$ 를 로그 안으로 옮겨 $- 2 \cdot \ln (x)$ 을 간단히 합니다.

$\frac{2 e^{\frac{\ln (x^{2})}{x}} - \ln (x^{2}) e^{\frac{\ln (x^{2})}{x}}}{x^{2}}$

단계 8.3.2

$2 e^{\frac{\ln (x^{2})}{x}} - \ln (x^{2}) e^{\frac{\ln (x^{2})}{x}}$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$\frac{2 e^{\frac{\ln (x^{2})}{x}} - e^{\frac{\ln (x^{2})}{x}} \ln (x^{2})}{x^{2}}$

단계 8.4

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{- e^{\frac{\ln (x^{2})}{x}} \ln (x^{2}) + 2 e^{\frac{\ln (x^{2})}{x}}}{x^{2}}$