미적분 예제

$x^{\frac{1}{3}} (x^{2} - 4)$

단계 1

$f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ , $g (x) = x^{2} - 4$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4] + (x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

단계 2

미분합니다.

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단계 2.1

합의 법칙에 의해 $x^{2} - 4$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ 가 됩니다.

$x^{\frac{1}{3}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]) + (x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

단계 2.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x^{\frac{1}{3}} (2 x + \frac{d}{d x} [- 4]) + (x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

단계 2.3

$- 4$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 4$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 4$ 입니다.

$x^{\frac{1}{3}} (2 x + 0) + (x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

단계 2.4

$2 x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$x^{\frac{1}{3}} (2 x) + (x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

단계 3

지수를 더하여 $x^{\frac{1}{3}}$ 에 $x$ 을 곱합니다.

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단계 3.1

$x$ 를 옮깁니다.

$x \cdot x^{\frac{1}{3}} \cdot 2 + (x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

단계 3.2

$x$ 에 $x^{\frac{1}{3}}$ 을 곱합니다.

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단계 3.2.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$x^{1} x^{\frac{1}{3}} \cdot 2 + (x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

단계 3.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$x^{1 + \frac{1}{3}} \cdot 2 + (x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

단계 3.3

$1$ 을(를) 공통분모가 있는 분수로 표현합니다.

$x^{\frac{3}{3} + \frac{1}{3}} \cdot 2 + (x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

단계 3.4

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$x^{\frac{3 + 1}{3}} \cdot 2 + (x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

단계 3.5

$3$ 를 $1$ 에 더합니다.

$x^{\frac{4}{3}} \cdot 2 + (x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

단계 4

$x^{\frac{4}{3}}$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$2 \cdot x^{\frac{4}{3}} + (x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

단계 5

$n = \frac{1}{3}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 x^{\frac{4}{3}} + (x^{2} - 4) (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1})$

단계 6

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{3}{3}$ 을 곱합니다.

$2 x^{\frac{4}{3}} + (x^{2} - 4) (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

단계 7

$- 1$ 와 $\frac{3}{3}$ 을 묶습니다.

$2 x^{\frac{4}{3}} + (x^{2} - 4) (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

단계 8

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$2 x^{\frac{4}{3}} + (x^{2} - 4) (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}})$

단계 9

분자를 간단히 합니다.

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단계 9.1

$- 1$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$2 x^{\frac{4}{3}} + (x^{2} - 4) (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}})$

단계 9.2

$1$ 에서 $3$ 을 뺍니다.

$2 x^{\frac{4}{3}} + (x^{2} - 4) (\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}})$

단계 10

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$2 x^{\frac{4}{3}} + (x^{2} - 4) (\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}})$

단계 11

$\frac{1}{3}$ 와 $x^{- \frac{2}{3}}$ 을 묶습니다.

$2 x^{\frac{4}{3}} + (x^{2} - 4) \frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$

단계 12

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 $x^{- \frac{2}{3}}$ 를 분모로 이동합니다.

$2 x^{\frac{4}{3}} + (x^{2} - 4) \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

단계 13

간단히 합니다.

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단계 13.1

분배 법칙을 적용합니다.

$2 x^{\frac{4}{3}} + x^{2} \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} - 4 \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

단계 13.2

항을 묶습니다.

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단계 13.2.1

$x^{2}$ 와 $\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ 을 묶습니다.

$2 x^{\frac{4}{3}} + \frac{x^{2}}{3 x^{\frac{2}{3}}} - 4 \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

단계 13.2.2

음의 지수 법칙 $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ 을 활용하여 $x^{\frac{2}{3}}$ 를 분자로 이동합니다.

$2 x^{\frac{4}{3}} + \frac{x^{2} x^{- \frac{2}{3}}}{3} - 4 \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

단계 13.2.3

지수를 더하여 $x^{2}$ 에 $x^{- \frac{2}{3}}$ 을 곱합니다.

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단계 13.2.3.1

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$2 x^{\frac{4}{3}} + \frac{x^{2 - \frac{2}{3}}}{3} - 4 \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

단계 13.2.3.2

공통 분모를 가지는 분수로 $2$ 을 표현하기 위해 $\frac{3}{3}$ 을 곱합니다.

$2 x^{\frac{4}{3}} + \frac{x^{2 \cdot \frac{3}{3} - \frac{2}{3}}}{3} - 4 \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

단계 13.2.3.3

$2$ 와 $\frac{3}{3}$ 을 묶습니다.

$2 x^{\frac{4}{3}} + \frac{x^{\frac{2 \cdot 3}{3} - \frac{2}{3}}}{3} - 4 \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

단계 13.2.3.4

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$2 x^{\frac{4}{3}} + \frac{x^{\frac{2 \cdot 3 - 2}{3}}}{3} - 4 \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

단계 13.2.3.5

분자를 간단히 합니다.

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단계 13.2.3.5.1

$2$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$2 x^{\frac{4}{3}} + \frac{x^{\frac{6 - 2}{3}}}{3} - 4 \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

단계 13.2.3.5.2

$6$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$2 x^{\frac{4}{3}} + \frac{x^{\frac{4}{3}}}{3} - 4 \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

단계 13.2.4

$- 4$ 와 $\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ 을 묶습니다.

$2 x^{\frac{4}{3}} + \frac{x^{\frac{4}{3}}}{3} + \frac{- 4}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

단계 13.2.5

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$2 x^{\frac{4}{3}} + \frac{x^{\frac{4}{3}}}{3} - \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

단계 13.2.6

공통 분모를 가지는 분수로 $2 x^{\frac{4}{3}}$ 을 표현하기 위해 $\frac{3}{3}$ 을 곱합니다.

$2 x^{\frac{4}{3}} \cdot \frac{3}{3} + \frac{x^{\frac{4}{3}}}{3} - \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

단계 13.2.7

$2 x^{\frac{4}{3}}$ 와 $\frac{3}{3}$ 을 묶습니다.

$\frac{2 x^{\frac{4}{3}} \cdot 3}{3} + \frac{x^{\frac{4}{3}}}{3} - \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

단계 13.2.8

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{2 x^{\frac{4}{3}} \cdot 3 + x^{\frac{4}{3}}}{3} - \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

단계 13.2.9

$3$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{6 x^{\frac{4}{3}} + x^{\frac{4}{3}}}{3} - \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

단계 13.2.10

$6 x^{\frac{4}{3}}$ 를 $x^{\frac{4}{3}}$ 에 더합니다.

$\frac{7 x^{\frac{4}{3}}}{3} - \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}$