미적분 예제

$\sqrt[3]{x} (x + 1)$

단계 1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt[3]{x}$ 을(를) $x^{\frac{1}{3}}$ (으)로 다시 씁니다.

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}} (x + 1)]$

단계 2

$f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ , $g (x) = x + 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x + 1] + (x + 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

단계 3

미분합니다.

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단계 3.1

합의 법칙에 의해 $x + 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ 가 됩니다.

$x^{\frac{1}{3}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) + (x + 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

단계 3.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x^{\frac{1}{3}} (1 + \frac{d}{d x} [1]) + (x + 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

단계 3.3

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$x^{\frac{1}{3}} (1 + 0) + (x + 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

단계 3.4

식을 간단히 합니다.

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단계 3.4.1

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$x^{\frac{1}{3}} \cdot 1 + (x + 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

단계 3.4.2

$x^{\frac{1}{3}}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$x^{\frac{1}{3}} + (x + 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

단계 3.5

$n = \frac{1}{3}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x^{\frac{1}{3}} + (x + 1) (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1})$

단계 4

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{3}{3}$ 을 곱합니다.

$x^{\frac{1}{3}} + (x + 1) (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

단계 5

$- 1$ 와 $\frac{3}{3}$ 을 묶습니다.

$x^{\frac{1}{3}} + (x + 1) (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

단계 6

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$x^{\frac{1}{3}} + (x + 1) (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}})$

단계 7

분자를 간단히 합니다.

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단계 7.1

$- 1$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$x^{\frac{1}{3}} + (x + 1) (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}})$

단계 7.2

$1$ 에서 $3$ 을 뺍니다.

$x^{\frac{1}{3}} + (x + 1) (\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}})$

단계 8

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$x^{\frac{1}{3}} + (x + 1) (\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}})$

단계 9

$\frac{1}{3}$ 와 $x^{- \frac{2}{3}}$ 을 묶습니다.

$x^{\frac{1}{3}} + (x + 1) \frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$

단계 10

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 $x^{- \frac{2}{3}}$ 를 분모로 이동합니다.

$x^{\frac{1}{3}} + (x + 1) \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

단계 11

간단히 합니다.

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단계 11.1

분배 법칙을 적용합니다.

$x^{\frac{1}{3}} + x \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} + 1 \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

단계 11.2

항을 묶습니다.

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단계 11.2.1

$x$ 와 $\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ 을 묶습니다.

$x^{\frac{1}{3}} + \frac{x}{3 x^{\frac{2}{3}}} + 1 \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

단계 11.2.2

음의 지수 법칙 $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ 을 활용하여 $x^{\frac{2}{3}}$ 를 분자로 이동합니다.

$x^{\frac{1}{3}} + \frac{x \cdot x^{- \frac{2}{3}}}{3} + 1 \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

단계 11.2.3

지수를 더하여 $x$ 에 $x^{- \frac{2}{3}}$ 을 곱합니다.

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단계 11.2.3.1

$x$ 에 $x^{- \frac{2}{3}}$ 을 곱합니다.

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단계 11.2.3.1.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$x^{\frac{1}{3}} + \frac{x^{1} x^{- \frac{2}{3}}}{3} + 1 \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

단계 11.2.3.1.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$x^{\frac{1}{3}} + \frac{x^{1 - \frac{2}{3}}}{3} + 1 \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

단계 11.2.3.2

$1$ 을(를) 공통분모가 있는 분수로 표현합니다.

$x^{\frac{1}{3}} + \frac{x^{\frac{3}{3} - \frac{2}{3}}}{3} + 1 \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

단계 11.2.3.3

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$x^{\frac{1}{3}} + \frac{x^{\frac{3 - 2}{3}}}{3} + 1 \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

단계 11.2.3.4

$3$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$x^{\frac{1}{3}} + \frac{x^{\frac{1}{3}}}{3} + 1 \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

단계 11.2.4

$\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$x^{\frac{1}{3}} + \frac{x^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

단계 11.2.5

공통 분모를 가지는 분수로 $x^{\frac{1}{3}}$ 을 표현하기 위해 $\frac{3}{3}$ 을 곱합니다.

$x^{\frac{1}{3}} \cdot \frac{3}{3} + \frac{x^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

단계 11.2.6

$x^{\frac{1}{3}}$ 와 $\frac{3}{3}$ 을 묶습니다.

$\frac{x^{\frac{1}{3}} \cdot 3}{3} + \frac{x^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

단계 11.2.7

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{x^{\frac{1}{3}} \cdot 3 + x^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

단계 11.2.8

$x^{\frac{1}{3}}$ 의 왼쪽으로 $3$ 이동하기

$\frac{3 \cdot x^{\frac{1}{3}} + x^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

단계 11.2.9

$3 x^{\frac{1}{3}}$ 를 $x^{\frac{1}{3}}$ 에 더합니다.

$\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$