미적분 예제

$\sqrt[3]{1 + \tan (x)}$

단계 1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt[3]{1 + \tan (x)}$ 을(를) ${(1 + \tan (x))}^{\frac{1}{3}}$ (으)로 다시 씁니다.

$\frac{d}{d x} [{(1 + \tan (x))}^{\frac{1}{3}}]$

단계 2

$f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ , $g (x) = 1 + \tan (x)$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $1 + \tan (x)$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{3}}] \frac{d}{d x} [1 + \tan (x)]$

단계 2.2

$n = \frac{1}{3}$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{3} u^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [1 + \tan (x)]$

단계 2.3

$u$ 를 모두 $1 + \tan (x)$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{3} {(1 + \tan (x))}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [1 + \tan (x)]$

단계 3

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{3}{3}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{3} {(1 + \tan (x))}^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [1 + \tan (x)]$

단계 4

$- 1$ 와 $\frac{3}{3}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{3} {(1 + \tan (x))}^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [1 + \tan (x)]$

단계 5

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{1}{3} {(1 + \tan (x))}^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [1 + \tan (x)]$

단계 6

분자를 간단히 합니다.

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단계 6.1

$- 1$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{3} {(1 + \tan (x))}^{\frac{1 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [1 + \tan (x)]$

단계 6.2

$1$ 에서 $3$ 을 뺍니다.

$\frac{1}{3} {(1 + \tan (x))}^{\frac{- 2}{3}} \frac{d}{d x} [1 + \tan (x)]$

단계 7

미분합니다.

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단계 7.1

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{1}{3} {(1 + \tan (x))}^{- \frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [1 + \tan (x)]$

단계 7.2

분수를 통분합니다.

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단계 7.2.1

$\frac{1}{3}$ 와 ${(1 + \tan (x))}^{- \frac{2}{3}}$ 을 묶습니다.

$\frac{{(1 + \tan (x))}^{- \frac{2}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [1 + \tan (x)]$

단계 7.2.2

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 ${(1 + \tan (x))}^{- \frac{2}{3}}$ 를 분모로 이동합니다.

$\frac{1}{3 {(1 + \tan (x))}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [1 + \tan (x)]$

단계 7.3

합의 법칙에 의해 $1 + \tan (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\tan (x)]$ 가 됩니다.

$\frac{1}{3 {(1 + \tan (x))}^{\frac{2}{3}}} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\tan (x)])$

단계 7.4

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$\frac{1}{3 {(1 + \tan (x))}^{\frac{2}{3}}} (0 + \frac{d}{d x} [\tan (x)])$

단계 7.5

$0$ 를 $\frac{d}{d x} [\tan (x)]$ 에 더합니다.

$\frac{1}{3 {(1 + \tan (x))}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [\tan (x)]$

단계 8

$\tan (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\sec^{2} (x)$ 입니다.

$\frac{1}{3 {(1 + \tan (x))}^{\frac{2}{3}}} \sec^{2} (x)$

단계 9

$\frac{1}{3 {(1 + \tan (x))}^{\frac{2}{3}}}$ 와 $\sec^{2} (x)$ 을 묶습니다.

$\frac{\sec^{2} (x)}{3 {(1 + \tan (x))}^{\frac{2}{3}}}$