미적분 예제

$\sqrt{4 \sin (x) + 2}$

단계 1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{4 \sin (x) + 2}$ 을(를) ${(4 \sin (x) + 2)}^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$\frac{d}{d x} [{(4 \sin (x) + 2)}^{\frac{1}{2}}]$

단계 2

$f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ , $g (x) = 4 \sin (x) + 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $4 \sin (x) + 2$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [4 \sin (x) + 2]$

단계 2.2

$n = \frac{1}{2}$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [4 \sin (x) + 2]$

단계 2.3

$u$ 를 모두 $4 \sin (x) + 2$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{2} {(4 \sin (x) + 2)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [4 \sin (x) + 2]$

단계 3

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2} {(4 \sin (x) + 2)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [4 \sin (x) + 2]$

단계 4

$- 1$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{2} {(4 \sin (x) + 2)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [4 \sin (x) + 2]$

단계 5

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{1}{2} {(4 \sin (x) + 2)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [4 \sin (x) + 2]$

단계 6

분자를 간단히 합니다.

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단계 6.1

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2} {(4 \sin (x) + 2)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [4 \sin (x) + 2]$

단계 6.2

$1$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$\frac{1}{2} {(4 \sin (x) + 2)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [4 \sin (x) + 2]$

단계 7

미분합니다.

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단계 7.1

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{1}{2} {(4 \sin (x) + 2)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [4 \sin (x) + 2]$

단계 7.2

분수를 통분합니다.

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단계 7.2.1

$\frac{1}{2}$ 와 ${(4 \sin (x) + 2)}^{- \frac{1}{2}}$ 을 묶습니다.

$\frac{{(4 \sin (x) + 2)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [4 \sin (x) + 2]$

단계 7.2.2

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 ${(4 \sin (x) + 2)}^{- \frac{1}{2}}$ 를 분모로 이동합니다.

$\frac{1}{2 {(4 \sin (x) + 2)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [4 \sin (x) + 2]$

단계 7.3

합의 법칙에 의해 $4 \sin (x) + 2$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [4 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [2]$ 가 됩니다.

$\frac{1}{2 {(4 \sin (x) + 2)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [4 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [2])$

단계 7.4

$4$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $4 \sin (x)$ 의 미분은 $4 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ 입니다.

$\frac{1}{2 {(4 \sin (x) + 2)}^{\frac{1}{2}}} (4 \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [2])$

단계 8

$\sin (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\cos (x)$ 입니다.

$\frac{1}{2 {(4 \sin (x) + 2)}^{\frac{1}{2}}} (4 \cos (x) + \frac{d}{d x} [2])$

단계 9

상수의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 9.1

$2$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $2$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $2$ 입니다.

$\frac{1}{2 {(4 \sin (x) + 2)}^{\frac{1}{2}}} (4 \cos (x) + 0)$

단계 9.2

항을 간단히 합니다.

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단계 9.2.1

$4 \cos (x)$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{1}{2 {(4 \sin (x) + 2)}^{\frac{1}{2}}} (4 \cos (x))$

단계 9.2.2

$4$ 와 $\frac{1}{2 {(4 \sin (x) + 2)}^{\frac{1}{2}}}$ 을 묶습니다.

$\frac{4}{2 {(4 \sin (x) + 2)}^{\frac{1}{2}}} \cos (x)$

단계 9.2.3

$\frac{4}{2 {(4 \sin (x) + 2)}^{\frac{1}{2}}}$ 와 $\cos (x)$ 을 묶습니다.

$\frac{4 \cos (x)}{2 {(4 \sin (x) + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 9.2.4

$4 \cos (x)$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 (2 \cos (x))}{2 {(4 \sin (x) + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 10

공약수로 약분합니다.

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단계 10.1

$2 {(4 \sin (x) + 2)}^{\frac{1}{2}}$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 (2 \cos (x))}{2 ({(4 \sin (x) + 2)}^{\frac{1}{2}})}$

단계 10.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 (2 \cos (x))}{2 {(4 \sin (x) + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 10.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{2 \cos (x)}{{(4 \sin (x) + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 11

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{2 \cos (x)}{{(2 + 4 \sin (x))}^{\frac{1}{2}}}$