미적분 예제

$\sqrt{\sin (3 x)}$

단계 1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{\sin (3 x)}$ 을(를) ${\sin (3 x)}^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$\frac{d}{d x} [{\sin (3 x)}^{\frac{1}{2}}]$

단계 2

$f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ , $g (x) = \sin (3 x)$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{1}$ 를 $\sin (3 x)$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]$

단계 2.2

$n = \frac{1}{2}$ 일 때 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 는 $n {u_{1}}^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]$

단계 2.3

$u_{1}$ 를 모두 $\sin (3 x)$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{2} {\sin (3 x)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]$

단계 3

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2} {\sin (3 x)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]$

단계 4

$- 1$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{2} {\sin (3 x)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]$

단계 5

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{1}{2} {\sin (3 x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]$

단계 6

분자를 간단히 합니다.

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단계 6.1

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2} {\sin (3 x)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]$

단계 6.2

$1$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$\frac{1}{2} {\sin (3 x)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]$

단계 7

분수를 통분합니다.

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단계 7.1

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{1}{2} {\sin (3 x)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]$

단계 7.2

$\frac{1}{2}$ 와 ${\sin (3 x)}^{- \frac{1}{2}}$ 을 묶습니다.

$\frac{{\sin (3 x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]$

단계 7.3

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 ${\sin (3 x)}^{- \frac{1}{2}}$ 를 분모로 이동합니다.

$\frac{1}{2 {\sin (3 x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]$

단계 8

$f (x) = \sin (x)$ , $g (x) = 3 x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 8.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{2}$ 를 $3 x$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{2 {\sin (3 x)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d x} [3 x])$

단계 8.2

$\sin (u_{2})$ 를 $u_{2}$ 에 대해 미분하면 $\cos (u_{2})$ 입니다.

$\frac{1}{2 {\sin (3 x)}^{\frac{1}{2}}} (\cos (u_{2}) \frac{d}{d x} [3 x])$

단계 8.3

$u_{2}$ 를 모두 $3 x$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{2 {\sin (3 x)}^{\frac{1}{2}}} (\cos (3 x) \frac{d}{d x} [3 x])$

단계 9

미분합니다.

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단계 9.1

$\cos (3 x)$ 와 $\frac{1}{2 {\sin (3 x)}^{\frac{1}{2}}}$ 을 묶습니다.

$\frac{\cos (3 x)}{2 {\sin (3 x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [3 x]$

단계 9.2

$3$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $3 x$ 의 미분은 $3 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$\frac{\cos (3 x)}{2 {\sin (3 x)}^{\frac{1}{2}}} (3 \frac{d}{d x} [x])$

단계 9.3

$3$ 와 $\frac{\cos (3 x)}{2 {\sin (3 x)}^{\frac{1}{2}}}$ 을 묶습니다.

$\frac{3 \cos (3 x)}{2 {\sin (3 x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x]$

단계 9.4

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{3 \cos (3 x)}{2 {\sin (3 x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1$

단계 9.5

$\frac{3 \cos (3 x)}{2 {\sin (3 x)}^{\frac{1}{2}}}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{3 \cos (3 x)}{2 {\sin (3 x)}^{\frac{1}{2}}}$