미적분 예제

$\sqrt{x \ln (x^{4})}$

단계 1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{x \ln (x^{4})}$ 을(를) ${(x \ln (x^{4}))}^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$\frac{d}{d x} [{(x \ln (x^{4}))}^{\frac{1}{2}}]$

단계 2

$f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ , $g (x) = x \ln (x^{4})$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{1}$ 를 $x \ln (x^{4})$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x \ln (x^{4})]$

단계 2.2

$n = \frac{1}{2}$ 일 때 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 는 $n {u_{1}}^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x \ln (x^{4})]$

단계 2.3

$u_{1}$ 를 모두 $x \ln (x^{4})$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{2} {(x \ln (x^{4}))}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x \ln (x^{4})]$

단계 3

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2} {(x \ln (x^{4}))}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x \ln (x^{4})]$

단계 4

$- 1$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{2} {(x \ln (x^{4}))}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x \ln (x^{4})]$

단계 5

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{1}{2} {(x \ln (x^{4}))}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x \ln (x^{4})]$

단계 6

분자를 간단히 합니다.

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단계 6.1

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2} {(x \ln (x^{4}))}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x \ln (x^{4})]$

단계 6.2

$1$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$\frac{1}{2} {(x \ln (x^{4}))}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x \ln (x^{4})]$

단계 7

분수를 통분합니다.

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단계 7.1

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{1}{2} {(x \ln (x^{4}))}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x \ln (x^{4})]$

단계 7.2

$\frac{1}{2}$ 와 ${(x \ln (x^{4}))}^{- \frac{1}{2}}$ 을 묶습니다.

$\frac{{(x \ln (x^{4}))}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x \ln (x^{4})]$

단계 7.3

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 ${(x \ln (x^{4}))}^{- \frac{1}{2}}$ 를 분모로 이동합니다.

$\frac{1}{2 {(x \ln (x^{4}))}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x \ln (x^{4})]$

단계 8

$f (x) = x$ , $g (x) = \ln (x^{4})$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{2 {(x \ln (x^{4}))}^{\frac{1}{2}}} (x \frac{d}{d x} [\ln (x^{4})] + \ln (x^{4}) \frac{d}{d x} [x])$

단계 9

$f (x) = \ln (x)$ , $g (x) = x^{4}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 9.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{2}$ 를 $x^{4}$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{2 {(x \ln (x^{4}))}^{\frac{1}{2}}} (x (\frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d x} [x^{4}]) + \ln (x^{4}) \frac{d}{d x} [x])$

단계 9.2

$\ln (u_{2})$ 를 $u_{2}$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{u_{2}}$ 입니다.

$\frac{1}{2 {(x \ln (x^{4}))}^{\frac{1}{2}}} (x (\frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d x} [x^{4}]) + \ln (x^{4}) \frac{d}{d x} [x])$

단계 9.3

$u_{2}$ 를 모두 $x^{4}$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{2 {(x \ln (x^{4}))}^{\frac{1}{2}}} (x (\frac{1}{x^{4}} \frac{d}{d x} [x^{4}]) + \ln (x^{4}) \frac{d}{d x} [x])$

단계 10

멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 10.1

$\frac{1}{x^{4}}$ 와 $x$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{2 {(x \ln (x^{4}))}^{\frac{1}{2}}} (\frac{x}{x^{4}} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \ln (x^{4}) \frac{d}{d x} [x])$

단계 10.2

$x$ 및 $x^{4}$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 10.2.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{1}{2 {(x \ln (x^{4}))}^{\frac{1}{2}}} (\frac{x^{1}}{x^{4}} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \ln (x^{4}) \frac{d}{d x} [x])$

단계 10.2.2

$x^{1}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{1}{2 {(x \ln (x^{4}))}^{\frac{1}{2}}} (\frac{x \cdot 1}{x^{4}} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \ln (x^{4}) \frac{d}{d x} [x])$

단계 10.2.3

공약수로 약분합니다.

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단계 10.2.3.1

$x^{4}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{1}{2 {(x \ln (x^{4}))}^{\frac{1}{2}}} (\frac{x \cdot 1}{x \cdot x^{3}} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \ln (x^{4}) \frac{d}{d x} [x])$

단계 10.2.3.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{1}{2 {(x \ln (x^{4}))}^{\frac{1}{2}}} (\frac{x \cdot 1}{x \cdot x^{3}} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \ln (x^{4}) \frac{d}{d x} [x])$

단계 10.2.3.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{2 {(x \ln (x^{4}))}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{x^{3}} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \ln (x^{4}) \frac{d}{d x} [x])$

단계 10.3

$n = 4$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{2 {(x \ln (x^{4}))}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{x^{3}} (4 x^{3}) + \ln (x^{4}) \frac{d}{d x} [x])$

단계 10.4

항을 간단히 합니다.

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단계 10.4.1

$4$ 와 $\frac{1}{x^{3}}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{2 {(x \ln (x^{4}))}^{\frac{1}{2}}} (\frac{4}{x^{3}} x^{3} + \ln (x^{4}) \frac{d}{d x} [x])$

단계 10.4.2

$\frac{4}{x^{3}}$ 와 $x^{3}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{2 {(x \ln (x^{4}))}^{\frac{1}{2}}} (\frac{4 x^{3}}{x^{3}} + \ln (x^{4}) \frac{d}{d x} [x])$

단계 10.4.3

$x^{3}$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 10.4.3.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{1}{2 {(x \ln (x^{4}))}^{\frac{1}{2}}} (\frac{4 x^{3}}{x^{3}} + \ln (x^{4}) \frac{d}{d x} [x])$

단계 10.4.3.2

$4$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\frac{1}{2 {(x \ln (x^{4}))}^{\frac{1}{2}}} (4 + \ln (x^{4}) \frac{d}{d x} [x])$

단계 10.5

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{2 {(x \ln (x^{4}))}^{\frac{1}{2}}} (4 + \ln (x^{4}) \cdot 1)$

단계 10.6

$\ln (x^{4})$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2 {(x \ln (x^{4}))}^{\frac{1}{2}}} (4 + \ln (x^{4}))$

단계 11

간단히 합니다.

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단계 11.1

$x \ln (x^{4})$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$\frac{1}{2 (x^{\frac{1}{2}} {\ln (x^{4})}^{\frac{1}{2}})} (4 + \ln (x^{4}))$

단계 11.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{1}{2 (x^{\frac{1}{2}} {\ln (x^{4})}^{\frac{1}{2}})} \cdot 4 + \frac{1}{2 (x^{\frac{1}{2}} {\ln (x^{4})}^{\frac{1}{2}})} \ln (x^{4})$

단계 11.3

항을 묶습니다.

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단계 11.3.1

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}} {\ln (x^{4})}^{\frac{1}{2}}}$ 와 $4$ 을 묶습니다.

$\frac{4}{2 x^{\frac{1}{2}} {\ln (x^{4})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{2 (x^{\frac{1}{2}} {\ln (x^{4})}^{\frac{1}{2}})} \ln (x^{4})$

단계 11.3.2

$4$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 \cdot 2}{2 x^{\frac{1}{2}} {\ln (x^{4})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{2 (x^{\frac{1}{2}} {\ln (x^{4})}^{\frac{1}{2}})} \ln (x^{4})$

단계 11.3.3

공약수로 약분합니다.

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단계 11.3.3.1

$2 x^{\frac{1}{2}} {\ln (x^{4})}^{\frac{1}{2}}$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 \cdot 2}{2 (x^{\frac{1}{2}} {\ln (x^{4})}^{\frac{1}{2}})} + \frac{1}{2 (x^{\frac{1}{2}} {\ln (x^{4})}^{\frac{1}{2}})} \ln (x^{4})$

단계 11.3.3.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 \cdot 2}{2 (x^{\frac{1}{2}} {\ln (x^{4})}^{\frac{1}{2}})} + \frac{1}{2 (x^{\frac{1}{2}} {\ln (x^{4})}^{\frac{1}{2}})} \ln (x^{4})$

단계 11.3.3.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{2}{x^{\frac{1}{2}} {\ln (x^{4})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{2 (x^{\frac{1}{2}} {\ln (x^{4})}^{\frac{1}{2}})} \ln (x^{4})$

단계 11.3.4

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}} {\ln (x^{4})}^{\frac{1}{2}}}$ 와 $\ln (x^{4})$ 을 묶습니다.

$\frac{2}{x^{\frac{1}{2}} {\ln (x^{4})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{\ln (x^{4})}{2 x^{\frac{1}{2}} {\ln (x^{4})}^{\frac{1}{2}}}$

단계 11.3.5

음의 지수 법칙 $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ 을 활용하여 ${\ln (x^{4})}^{\frac{1}{2}}$ 를 분자로 이동합니다.

$\frac{2}{x^{\frac{1}{2}} {\ln (x^{4})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{\ln (x^{4}) {\ln (x^{4})}^{- \frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

단계 11.3.6

지수를 더하여 $\ln (x^{4})$ 에 ${\ln (x^{4})}^{- \frac{1}{2}}$ 을 곱합니다.

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단계 11.3.6.1

$\ln (x^{4})$ 에 ${\ln (x^{4})}^{- \frac{1}{2}}$ 을 곱합니다.

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단계 11.3.6.1.1

$\ln (x^{4})$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{2}{x^{\frac{1}{2}} {\ln (x^{4})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{\ln^{1} (x^{4}) {\ln (x^{4})}^{- \frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

단계 11.3.6.1.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{2}{x^{\frac{1}{2}} {\ln (x^{4})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{{\ln (x^{4})}^{1 - \frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

단계 11.3.6.2

$1$ 을(를) 공통분모가 있는 분수로 표현합니다.

$\frac{2}{x^{\frac{1}{2}} {\ln (x^{4})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{{\ln (x^{4})}^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

단계 11.3.6.3

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{2}{x^{\frac{1}{2}} {\ln (x^{4})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{{\ln (x^{4})}^{\frac{2 - 1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

단계 11.3.6.4

$2$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$\frac{2}{x^{\frac{1}{2}} {\ln (x^{4})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{{\ln (x^{4})}^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$