미적분 예제

$\log (x^{3} + 1)$

단계 1

$f (x) = \log (x)$ , $g (x) = x^{3} + 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $x^{3} + 1$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u} [\log (u)] \frac{d}{d x} [x^{3} + 1]$

단계 1.2

$\log (u)$ 를 $u$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{u \ln (10)}$ 입니다.

$\frac{1}{u \ln (10)} \frac{d}{d x} [x^{3} + 1]$

단계 1.3

$u$ 를 모두 $x^{3} + 1$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{(x^{3} + 1) \ln (10)} \frac{d}{d x} [x^{3} + 1]$

단계 2

미분합니다.

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단계 2.1

합의 법칙에 의해 $x^{3} + 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [1]$ 가 됩니다.

$\frac{1}{(x^{3} + 1) \ln (10)} (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [1])$

단계 2.2

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{(x^{3} + 1) \ln (10)} (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [1])$

단계 2.3

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$\frac{1}{(x^{3} + 1) \ln (10)} (3 x^{2} + 0)$

단계 2.4

분수를 통분합니다.

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단계 2.4.1

$3 x^{2}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{1}{(x^{3} + 1) \ln (10)} (3 x^{2})$

단계 2.4.2

$3$ 와 $\frac{1}{(x^{3} + 1) \ln (10)}$ 을 묶습니다.

$\frac{3}{(x^{3} + 1) \ln (10)} x^{2}$

단계 2.4.3

$\frac{3}{(x^{3} + 1) \ln (10)}$ 와 $x^{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{3 x^{2}}{(x^{3} + 1) \ln (10)}$

단계 3

간단히 합니다.

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단계 3.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{3 x^{2}}{x^{3} \ln (10) + 1 \ln (10)}$

단계 3.2

$\ln (10)$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{3 x^{2}}{x^{3} \ln (10) + \ln (10)}$