미적분 예제

$\sin^{2} (π x)$

단계 1

$f (x) = x^{2}$ , $g (x) = \sin (π x)$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{1}$ 를 $\sin (π x)$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [\sin (π x)]$

단계 1.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 는 $n {u_{1}}^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 u_{1} \frac{d}{d x} [\sin (π x)]$

단계 1.3

$u_{1}$ 를 모두 $\sin (π x)$ 로 바꿉니다.

$2 \sin (π x) \frac{d}{d x} [\sin (π x)]$

단계 2

$f (x) = \sin (x)$ , $g (x) = π x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{2}$ 를 $π x$ 로 바꿉니다.

$2 \sin (π x) (\frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d x} [π x])$

단계 2.2

$\sin (u_{2})$ 를 $u_{2}$ 에 대해 미분하면 $\cos (u_{2})$ 입니다.

$2 \sin (π x) (\cos (u_{2}) \frac{d}{d x} [π x])$

단계 2.3

$u_{2}$ 를 모두 $π x$ 로 바꿉니다.

$2 \sin (π x) (\cos (π x) \frac{d}{d x} [π x])$

단계 3

미분합니다.

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단계 3.1

$π$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $π x$ 의 미분은 $π \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$2 \sin (π x) \cos (π x) (π \frac{d}{d x} [x])$

단계 3.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 \sin (π x) \cos (π x) (π \cdot 1)$

단계 3.3

$π$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$2 \sin (π x) \cos (π x) π$

단계 4

간단히 합니다.

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단계 4.1

$2 \sin (π x) \cos (π x) π$ 인수를 다시 정렬합니다.

$2 π \cos (π x) \sin (π x)$

단계 4.2

괄호를 표시합니다.

$2 π (\cos (π x) \sin (π x))$

단계 4.3

$2 π$ 와 $\cos (π x) \sin (π x)$ 을 다시 정렬합니다.

$\cos (π x) \sin (π x) (2 π)$

단계 4.4

괄호를 표시합니다.

$\cos (π x) (\sin (π x) \cdot 2) π$

단계 4.5

$\cos (π x)$ 와 $\sin (π x) \cdot 2$ 을 다시 정렬합니다.

$\sin (π x) \cdot 2 \cos (π x) π$

단계 4.6

$\sin (π x)$ 와 $2$ 을 다시 정렬합니다.

$2 \cdot \sin (π x) \cos (π x) π$

단계 4.7

사인 배각 공식을 적용합니다.

$\sin (2 (π x)) π$

단계 4.8

$\sin (2 π x) π$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$π \sin (2 π x)$