미적분 예제

$\frac{- 8 x}{x^{2} + 1}$

단계 1

상수배의 미분법을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.1

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{d}{d x} [- \frac{8 x}{x^{2} + 1}]$

단계 1.2

$- 8$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- \frac{8 x}{x^{2} + 1}$ 의 미분은 $- 8 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x^{2} + 1}]$ 입니다.

$- 8 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x^{2} + 1}]$

단계 2

$f (x) = x$ , $g (x) = x^{2} + 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 는 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ 이라는 몫의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- 8 \frac{(x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

단계 3

미분합니다.

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단계 3.1

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- 8 \frac{(x^{2} + 1) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

단계 3.2

$x^{2} + 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- 8 \frac{x^{2} + 1 - x \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

단계 3.3

합의 법칙에 의해 $x^{2} + 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ 가 됩니다.

$- 8 \frac{x^{2} + 1 - x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

단계 3.4

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- 8 \frac{x^{2} + 1 - x (2 x + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

단계 3.5

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$- 8 \frac{x^{2} + 1 - x (2 x + 0)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

단계 3.6

식을 간단히 합니다.

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단계 3.6.1

$2 x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$- 8 \frac{x^{2} + 1 - x (2 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

단계 3.6.2

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$- 8 \frac{x^{2} + 1 - 2 x \cdot x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

단계 4

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$- 8 \frac{x^{2} + 1 - 2 (x^{1} x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

단계 5

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$- 8 \frac{x^{2} + 1 - 2 (x^{1} x^{1})}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

단계 6

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$- 8 \frac{x^{2} + 1 - 2 x^{1 + 1}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

단계 7

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$- 8 \frac{x^{2} + 1 - 2 x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

단계 8

$x^{2}$ 에서 $2 x^{2}$ 을 뺍니다.

$- 8 \frac{- x^{2} + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

단계 9

$- 8$ 와 $\frac{- x^{2} + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$ 을 묶습니다.

$\frac{- 8 (- x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

단계 10

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{8 (- x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

단계 11

간단히 합니다.

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단계 11.1

분배 법칙을 적용합니다.

$- \frac{8 (- x^{2}) + 8 \cdot 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

단계 11.2

각 항을 간단히 합니다.

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단계 11.2.1

$- 1$ 에 $8$ 을 곱합니다.

$- \frac{- 8 x^{2} + 8 \cdot 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

단계 11.2.2

$8$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- \frac{- 8 x^{2} + 8}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$