미적분 예제

$\frac{54 x}{{(25 - x^{2})}^{2}}$

단계 1

$54$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $\frac{54 x}{{(25 - x^{2})}^{2}}$ 의 미분은 $54 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(25 - x^{2})}^{2}}]$ 입니다.

$54 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(25 - x^{2})}^{2}}]$

단계 2

$f (x) = x$ , $g (x) = {(25 - x^{2})}^{2}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 는 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ 이라는 몫의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$54 \frac{{(25 - x^{2})}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(25 - x^{2})}^{2}]}{{({(25 - x^{2})}^{2})}^{2}}$

단계 3

멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

${({(25 - x^{2})}^{2})}^{2}$ 의 지수를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$54 \frac{{(25 - x^{2})}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(25 - x^{2})}^{2}]}{{(25 - x^{2})}^{2 \cdot 2}}$

단계 3.1.2

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$54 \frac{{(25 - x^{2})}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(25 - x^{2})}^{2}]}{{(25 - x^{2})}^{4}}$

단계 3.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$54 \frac{{(25 - x^{2})}^{2} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [{(25 - x^{2})}^{2}]}{{(25 - x^{2})}^{4}}$

단계 3.3

${(25 - x^{2})}^{2}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$54 \frac{{(25 - x^{2})}^{2} - x \frac{d}{d x} [{(25 - x^{2})}^{2}]}{{(25 - x^{2})}^{4}}$

단계 4

$f (x) = x^{2}$ , $g (x) = 25 - x^{2}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $25 - x^{2}$ 로 바꿉니다.

$54 \frac{{(25 - x^{2})}^{2} - x (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [25 - x^{2}])}{{(25 - x^{2})}^{4}}$

단계 4.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$54 \frac{{(25 - x^{2})}^{2} - x (2 u \frac{d}{d x} [25 - x^{2}])}{{(25 - x^{2})}^{4}}$

단계 4.3

$u$ 를 모두 $25 - x^{2}$ 로 바꿉니다.

$54 \frac{{(25 - x^{2})}^{2} - x (2 (25 - x^{2}) \frac{d}{d x} [25 - x^{2}])}{{(25 - x^{2})}^{4}}$

단계 5

인수분해하여 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$54 \frac{{(25 - x^{2})}^{2} - 2 x ((25 - x^{2}) \frac{d}{d x} [25 - x^{2}])}{{(25 - x^{2})}^{4}}$

단계 5.2

${(25 - x^{2})}^{2} - 2 x ((25 - x^{2}) \frac{d}{d x} [25 - x^{2}])$ 에서 $25 - x^{2}$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1

${(25 - x^{2})}^{2}$ 에서 $25 - x^{2}$ 를 인수분해합니다.

$54 \frac{(25 - x^{2}) (25 - x^{2}) - 2 x ((25 - x^{2}) \frac{d}{d x} [25 - x^{2}])}{{(25 - x^{2})}^{4}}$

단계 5.2.2

$- 2 x ((25 - x^{2}) \frac{d}{d x} [25 - x^{2}])$ 에서 $25 - x^{2}$ 를 인수분해합니다.

$54 \frac{(25 - x^{2}) (25 - x^{2}) + (25 - x^{2}) (- 2 x (\frac{d}{d x} [25 - x^{2}]))}{{(25 - x^{2})}^{4}}$

단계 5.2.3

$(25 - x^{2}) (25 - x^{2}) + (25 - x^{2}) (- 2 x (\frac{d}{d x} [25 - x^{2}]))$ 에서 $25 - x^{2}$ 를 인수분해합니다.

$54 \frac{(25 - x^{2}) (25 - x^{2} - 2 x (\frac{d}{d x} [25 - x^{2}]))}{{(25 - x^{2})}^{4}}$

단계 6

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

${(25 - x^{2})}^{4}$ 에서 $25 - x^{2}$ 를 인수분해합니다.

$54 \frac{(25 - x^{2}) (25 - x^{2} - 2 x (\frac{d}{d x} [25 - x^{2}]))}{(25 - x^{2}) {(25 - x^{2})}^{3}}$

단계 6.2

공약수로 약분합니다.

$54 \frac{(25 - x^{2}) (25 - x^{2} - 2 x (\frac{d}{d x} [25 - x^{2}]))}{(25 - x^{2}) {(25 - x^{2})}^{3}}$

단계 6.3

수식을 다시 씁니다.

$54 \frac{25 - x^{2} - 2 x (\frac{d}{d x} [25 - x^{2}])}{{(25 - x^{2})}^{3}}$

단계 7

합의 법칙에 의해 $25 - x^{2}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [25] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ 가 됩니다.

$54 \frac{25 - x^{2} - 2 x (\frac{d}{d x} [25] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])}{{(25 - x^{2})}^{3}}$

단계 8

$25$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $25$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $25$ 입니다.

$54 \frac{25 - x^{2} - 2 x (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}])}{{(25 - x^{2})}^{3}}$

단계 9

$0$ 를 $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ 에 더합니다.

$54 \frac{25 - x^{2} - 2 x \frac{d}{d x} [- x^{2}]}{{(25 - x^{2})}^{3}}$

단계 10

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- x^{2}$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$54 \frac{25 - x^{2} - 2 x (- \frac{d}{d x} [x^{2}])}{{(25 - x^{2})}^{3}}$

단계 11

$- 1$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$54 \frac{25 - x^{2} + 2 x \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(25 - x^{2})}^{3}}$

단계 12

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$54 \frac{25 - x^{2} + 2 x (2 x)}{{(25 - x^{2})}^{3}}$

단계 13

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$54 \frac{25 - x^{2} + 4 x \cdot x}{{(25 - x^{2})}^{3}}$

단계 14

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$54 \frac{25 - x^{2} + 4 (x^{1} x)}{{(25 - x^{2})}^{3}}$

단계 15

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$54 \frac{25 - x^{2} + 4 (x^{1} x^{1})}{{(25 - x^{2})}^{3}}$

단계 16

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$54 \frac{25 - x^{2} + 4 x^{1 + 1}}{{(25 - x^{2})}^{3}}$

단계 17

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$54 \frac{25 - x^{2} + 4 x^{2}}{{(25 - x^{2})}^{3}}$

단계 18

$- x^{2}$ 를 $4 x^{2}$ 에 더합니다.

$54 \frac{25 + 3 x^{2}}{{(25 - x^{2})}^{3}}$

단계 19

$54$ 와 $\frac{25 + 3 x^{2}}{{(25 - x^{2})}^{3}}$ 을 묶습니다.

$\frac{54 (25 + 3 x^{2})}{{(25 - x^{2})}^{3}}$

단계 20

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 20.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{54 \cdot 25 + 54 (3 x^{2})}{{(25 - x^{2})}^{3}}$

단계 20.2

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 20.2.1

$54$ 에 $25$ 을 곱합니다.

$\frac{1350 + 54 (3 x^{2})}{{(25 - x^{2})}^{3}}$

단계 20.2.2

$3$ 에 $54$ 을 곱합니다.

$\frac{1350 + 162 x^{2}}{{(25 - x^{2})}^{3}}$

단계 20.3

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{162 x^{2} + 1350}{{(- x^{2} + 25)}^{3}}$