미적분 예제

$5^{- \frac{1}{x}}$

단계 1

$f (x) = 5^{x}$ , $g (x) = - \frac{1}{x}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $- \frac{1}{x}$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u} [5^{u}] \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}]$

단계 1.2

$a$ = $5$ 일 때 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 은 $a^{u} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$5^{u} \ln (5) \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}]$

단계 1.3

$u$ 를 모두 $- \frac{1}{x}$ 로 바꿉니다.

$5^{- \frac{1}{x}} \ln (5) \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}]$

단계 2

$f (x) = - 1$ , $g (x) = \frac{1}{x}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$5^{- \frac{1}{x}} \ln (5) (- \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1])$

단계 3

미분합니다.

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단계 3.1

$\frac{1}{x}$ 을 $x^{- 1}$ 로 바꿔 씁니다.

$5^{- \frac{1}{x}} \ln (5) (- \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1])$

단계 3.2

$n = - 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$5^{- \frac{1}{x}} \ln (5) (- - x^{- 2} + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1])$

단계 3.3

곱합니다.

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단계 3.3.1

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$5^{- \frac{1}{x}} \ln (5) (1 x^{- 2} + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1])$

단계 3.3.2

$x^{- 2}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$5^{- \frac{1}{x}} \ln (5) (x^{- 2} + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1])$

단계 3.4

$- 1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 1$ 입니다.

$5^{- \frac{1}{x}} \ln (5) (x^{- 2} + \frac{1}{x} \cdot 0)$

단계 3.5

식을 간단히 합니다.

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단계 3.5.1

$\frac{1}{x}$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$5^{- \frac{1}{x}} \ln (5) (x^{- 2} + 0)$

단계 3.5.2

$x^{- 2}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$5^{- \frac{1}{x}} \ln (5) x^{- 2}$

단계 4

간단히 합니다.

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단계 4.1

$5^{- \frac{1}{x}} \ln (5) x^{- 2}$ 인수를 다시 정렬합니다.

$5^{- \frac{1}{x}} x^{- 2} \ln (5)$

단계 4.2

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$5^{- \frac{1}{x}} \frac{1}{x^{2}} \ln (5)$

단계 4.3

$5^{- \frac{1}{x}}$ 와 $\frac{1}{x^{2}}$ 을 묶습니다.

$\frac{5^{- \frac{1}{x}}}{x^{2}} \ln (5)$

단계 4.4

$\frac{5^{- \frac{1}{x}}}{x^{2}}$ 와 $\ln (5)$ 을 묶습니다.

$\frac{5^{- \frac{1}{x}} \ln (5)}{x^{2}}$