미적분 예제

$\frac{x^{2} + 3 y^{2}}{e^{x^{2} + y^{2}}}$

단계 1

$f (x) = x^{2} + 3 y^{2}$ , $g (x) = e^{x^{2} + y^{2}}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 는 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ 이라는 몫의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{e^{x^{2} + y^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 3 y^{2}] - (x^{2} + 3 y^{2}) \frac{d}{d x} [e^{x^{2} + y^{2}}]}{{(e^{x^{2} + y^{2}})}^{2}}$

단계 2

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

${(e^{x^{2} + y^{2}})}^{2}$ 의 지수를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\frac{e^{x^{2} + y^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 3 y^{2}] - (x^{2} + 3 y^{2}) \frac{d}{d x} [e^{x^{2} + y^{2}}]}{e^{(x^{2} + y^{2}) \cdot 2}}$

단계 2.1.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{e^{x^{2} + y^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 3 y^{2}] - (x^{2} + 3 y^{2}) \frac{d}{d x} [e^{x^{2} + y^{2}}]}{e^{x^{2} \cdot 2 + y^{2} \cdot 2}}$

단계 2.1.3

$x^{2}$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$\frac{e^{x^{2} + y^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 3 y^{2}] - (x^{2} + 3 y^{2}) \frac{d}{d x} [e^{x^{2} + y^{2}}]}{e^{2 \cdot x^{2} + y^{2} \cdot 2}}$

단계 2.1.4

$y^{2}$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$\frac{e^{x^{2} + y^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 3 y^{2}] - (x^{2} + 3 y^{2}) \frac{d}{d x} [e^{x^{2} + y^{2}}]}{e^{2 \cdot x^{2} + 2 \cdot y^{2}}}$

단계 2.1.5

$2$ 에 $y^{2}$ 을 곱합니다.

$\frac{e^{x^{2} + y^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 3 y^{2}] - (x^{2} + 3 y^{2}) \frac{d}{d x} [e^{x^{2} + y^{2}}]}{e^{2 x^{2} + 2 y^{2}}}$

단계 2.2

합의 법칙에 의해 $x^{2} + 3 y^{2}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 y^{2}]$ 가 됩니다.

$\frac{e^{x^{2} + y^{2}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 y^{2}]) - (x^{2} + 3 y^{2}) \frac{d}{d x} [e^{x^{2} + y^{2}}]}{e^{2 x^{2} + 2 y^{2}}}$

단계 2.3

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{e^{x^{2} + y^{2}} (2 x + \frac{d}{d x} [3 y^{2}]) - (x^{2} + 3 y^{2}) \frac{d}{d x} [e^{x^{2} + y^{2}}]}{e^{2 x^{2} + 2 y^{2}}}$

단계 2.4

$3 y^{2}$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $3 y^{2}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $3 y^{2}$ 입니다.

$\frac{e^{x^{2} + y^{2}} (2 x + 0) - (x^{2} + 3 y^{2}) \frac{d}{d x} [e^{x^{2} + y^{2}}]}{e^{2 x^{2} + 2 y^{2}}}$

단계 2.5

$2 x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{e^{x^{2} + y^{2}} (2 x) - (x^{2} + 3 y^{2}) \frac{d}{d x} [e^{x^{2} + y^{2}}]}{e^{2 x^{2} + 2 y^{2}}}$

단계 3

$f (x) = e^{x}$ , $g (x) = x^{2} + y^{2}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $x^{2} + y^{2}$ 로 바꿉니다.

$\frac{e^{x^{2} + y^{2}} (2 x) - (x^{2} + 3 y^{2}) (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}])}{e^{2 x^{2} + 2 y^{2}}}$

단계 3.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 은 $a^{u} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{e^{x^{2} + y^{2}} (2 x) - (x^{2} + 3 y^{2}) (e^{u} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}])}{e^{2 x^{2} + 2 y^{2}}}$

단계 3.3

$u$ 를 모두 $x^{2} + y^{2}$ 로 바꿉니다.

$\frac{e^{x^{2} + y^{2}} (2 x) - (x^{2} + 3 y^{2}) (e^{x^{2} + y^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}])}{e^{2 x^{2} + 2 y^{2}}}$

단계 4

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

합의 법칙에 의해 $x^{2} + y^{2}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$ 가 됩니다.

$\frac{e^{x^{2} + y^{2}} (2 x) - (x^{2} + 3 y^{2}) (e^{x^{2} + y^{2}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]))}{e^{2 x^{2} + 2 y^{2}}}$

단계 4.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{e^{x^{2} + y^{2}} (2 x) - (x^{2} + 3 y^{2}) (e^{x^{2} + y^{2}} (2 x + \frac{d}{d x} [y^{2}]))}{e^{2 x^{2} + 2 y^{2}}}$

단계 4.3

$y^{2}$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $y^{2}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $y^{2}$ 입니다.

$\frac{e^{x^{2} + y^{2}} (2 x) - (x^{2} + 3 y^{2}) (e^{x^{2} + y^{2}} (2 x + 0))}{e^{2 x^{2} + 2 y^{2}}}$

단계 4.4

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.4.1

$2 x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{e^{x^{2} + y^{2}} (2 x) - (x^{2} + 3 y^{2}) (e^{x^{2} + y^{2}} (2 x))}{e^{2 x^{2} + 2 y^{2}}}$

단계 4.4.2

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{e^{x^{2} + y^{2}} (2 x) - 2 (x^{2} + 3 y^{2}) (e^{x^{2} + y^{2}} (x))}{e^{2 x^{2} + 2 y^{2}}}$

단계 5

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{e^{x^{2} + y^{2}} (2 x) + (- 2 x^{2} - 2 (3 y^{2})) (e^{x^{2} + y^{2}} (x))}{e^{2 x^{2} + 2 y^{2}}}$

단계 5.2

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1.1

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$\frac{2 e^{x^{2} + y^{2}} x + (- 2 x^{2} - 2 (3 y^{2})) (e^{x^{2} + y^{2}} (x))}{e^{2 x^{2} + 2 y^{2}}}$

단계 5.2.1.2

$3$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$\frac{2 e^{x^{2} + y^{2}} x + (- 2 x^{2} - 6 y^{2}) (e^{x^{2} + y^{2}} (x))}{e^{2 x^{2} + 2 y^{2}}}$

단계 5.2.1.3

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{2 e^{x^{2} + y^{2}} x - 2 x^{2} (e^{x^{2} + y^{2}} x) - 6 y^{2} (e^{x^{2} + y^{2}} x)}{e^{2 x^{2} + 2 y^{2}}}$

단계 5.2.1.4

지수를 더하여 $x^{2}$ 에 $x$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1.4.1

$x$ 를 옮깁니다.

$\frac{2 e^{x^{2} + y^{2}} x - 2 (x \cdot x^{2}) e^{x^{2} + y^{2}} - 6 y^{2} (e^{x^{2} + y^{2}} x)}{e^{2 x^{2} + 2 y^{2}}}$

단계 5.2.1.4.2

$x$ 에 $x^{2}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1.4.2.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{2 e^{x^{2} + y^{2}} x - 2 (x^{1} x^{2}) e^{x^{2} + y^{2}} - 6 y^{2} (e^{x^{2} + y^{2}} x)}{e^{2 x^{2} + 2 y^{2}}}$

단계 5.2.1.4.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{2 e^{x^{2} + y^{2}} x - 2 x^{1 + 2} e^{x^{2} + y^{2}} - 6 y^{2} (e^{x^{2} + y^{2}} x)}{e^{2 x^{2} + 2 y^{2}}}$

단계 5.2.1.4.3

$1$ 를 $2$ 에 더합니다.

$\frac{2 e^{x^{2} + y^{2}} x - 2 x^{3} e^{x^{2} + y^{2}} - 6 y^{2} (e^{x^{2} + y^{2}} x)}{e^{2 x^{2} + 2 y^{2}}}$

단계 5.2.2

$2 e^{x^{2} + y^{2}} x - 2 x^{3} e^{x^{2} + y^{2}} - 6 y^{2} (e^{x^{2} + y^{2}} x)$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$\frac{2 x e^{x^{2} + y^{2}} - 2 x^{3} e^{x^{2} + y^{2}} - 6 y^{2} x e^{x^{2} + y^{2}}}{e^{2 x^{2} + 2 y^{2}}}$

단계 5.3

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{2 e^{x^{2} + y^{2}} x - 2 e^{x^{2} + y^{2}} x^{3} - 6 e^{x^{2} + y^{2}} y^{2} x}{e^{2 x^{2} + 2 y^{2}}}$

단계 5.4

$2 e^{x^{2} + y^{2}} x - 2 e^{x^{2} + y^{2}} x^{3} - 6 e^{x^{2} + y^{2}} y^{2} x$ 에서 $2 e^{x^{2} + y^{2}} x$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.4.1

$2 e^{x^{2} + y^{2}} x$ 에서 $2 e^{x^{2} + y^{2}} x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 e^{x^{2} + y^{2}} x (1) - 2 e^{x^{2} + y^{2}} x^{3} - 6 e^{x^{2} + y^{2}} y^{2} x}{e^{2 x^{2} + 2 y^{2}}}$

단계 5.4.2

$- 2 e^{x^{2} + y^{2}} x^{3}$ 에서 $2 e^{x^{2} + y^{2}} x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 e^{x^{2} + y^{2}} x (1) + 2 e^{x^{2} + y^{2}} x (- x^{2}) - 6 e^{x^{2} + y^{2}} y^{2} x}{e^{2 x^{2} + 2 y^{2}}}$

단계 5.4.3

$- 6 e^{x^{2} + y^{2}} y^{2} x$ 에서 $2 e^{x^{2} + y^{2}} x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 e^{x^{2} + y^{2}} x (1) + 2 e^{x^{2} + y^{2}} x (- x^{2}) + 2 e^{x^{2} + y^{2}} x (- 3 y^{2})}{e^{2 x^{2} + 2 y^{2}}}$

단계 5.4.4

$2 e^{x^{2} + y^{2}} x (1) + 2 e^{x^{2} + y^{2}} x (- x^{2})$ 에서 $2 e^{x^{2} + y^{2}} x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 e^{x^{2} + y^{2}} x (1 - x^{2}) + 2 e^{x^{2} + y^{2}} x (- 3 y^{2})}{e^{2 x^{2} + 2 y^{2}}}$

단계 5.4.5

$2 e^{x^{2} + y^{2}} x (1 - x^{2}) + 2 e^{x^{2} + y^{2}} x (- 3 y^{2})$ 에서 $2 e^{x^{2} + y^{2}} x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 e^{x^{2} + y^{2}} x (1 - x^{2} - 3 y^{2})}{e^{2 x^{2} + 2 y^{2}}}$

단계 5.5

$e^{x^{2} + y^{2}}$ 및 $e^{2 x^{2} + 2 y^{2}}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.5.1

$2 e^{x^{2} + y^{2}} x (1 - x^{2} - 3 y^{2})$ 에서 $e^{2 x^{2} + 2 y^{2}}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{e^{2 x^{2} + 2 y^{2}} (2 e^{x^{2} + y^{2} - (2 x^{2} + 2 y^{2})} x (1 - x^{2} - 3 y^{2}))}{e^{2 x^{2} + 2 y^{2}}}$

단계 5.5.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.5.2.1

$1$ 을 곱합니다.

$\frac{e^{2 x^{2} + 2 y^{2}} (2 e^{x^{2} + y^{2} - (2 x^{2} + 2 y^{2})} x (1 - x^{2} - 3 y^{2}))}{e^{2 x^{2} + 2 y^{2}} \cdot 1}$

단계 5.5.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{e^{2 x^{2} + 2 y^{2}} (2 e^{x^{2} + y^{2} - (2 x^{2} + 2 y^{2})} x (1 - x^{2} - 3 y^{2}))}{e^{2 x^{2} + 2 y^{2}} \cdot 1}$

단계 5.5.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{2 e^{x^{2} + y^{2} - (2 x^{2} + 2 y^{2})} x (1 - x^{2} - 3 y^{2})}{1}$

단계 5.5.2.4

$2 e^{x^{2} + y^{2} - (2 x^{2} + 2 y^{2})} x (1 - x^{2} - 3 y^{2})$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$2 e^{x^{2} + y^{2} - (2 x^{2} + 2 y^{2})} x (1 - x^{2} - 3 y^{2})$

단계 5.6

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.6.1

분배 법칙을 적용합니다.

$2 e^{x^{2} + y^{2} - (2 x^{2}) - (2 y^{2})} x (1 - x^{2} - 3 y^{2})$

단계 5.6.2

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$2 e^{x^{2} + y^{2} - 2 x^{2} - (2 y^{2})} x (1 - x^{2} - 3 y^{2})$

단계 5.6.3

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$2 e^{x^{2} + y^{2} - 2 x^{2} - 2 y^{2}} x (1 - x^{2} - 3 y^{2})$

단계 5.7

$x^{2}$ 에서 $2 x^{2}$ 을 뺍니다.

$2 e^{- x^{2} + y^{2} - 2 y^{2}} x (1 - x^{2} - 3 y^{2})$

단계 5.8

$y^{2}$ 에서 $2 y^{2}$ 을 뺍니다.

$2 e^{- x^{2} - y^{2}} x (1 - x^{2} - 3 y^{2})$

단계 5.9

분배 법칙을 적용합니다.

$2 e^{- x^{2} - y^{2}} x \cdot 1 + 2 e^{- x^{2} - y^{2}} x (- x^{2}) + 2 e^{- x^{2} - y^{2}} x (- 3 y^{2})$

단계 5.10

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.10.1

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$2 e^{- x^{2} - y^{2}} x + 2 e^{- x^{2} - y^{2}} x (- x^{2}) + 2 e^{- x^{2} - y^{2}} x (- 3 y^{2})$

단계 5.10.2

지수를 더하여 $x$ 에 $x^{2}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.10.2.1

$x^{2}$ 를 옮깁니다.

$2 e^{- x^{2} - y^{2}} x + 2 e^{- x^{2} - y^{2}} (x^{2} x) \cdot - 1 + 2 e^{- x^{2} - y^{2}} x (- 3 y^{2})$

단계 5.10.2.2

$x^{2}$ 에 $x$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.10.2.2.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$2 e^{- x^{2} - y^{2}} x + 2 e^{- x^{2} - y^{2}} (x^{2} x^{1}) \cdot - 1 + 2 e^{- x^{2} - y^{2}} x (- 3 y^{2})$

단계 5.10.2.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$2 e^{- x^{2} - y^{2}} x + 2 e^{- x^{2} - y^{2}} x^{2 + 1} \cdot - 1 + 2 e^{- x^{2} - y^{2}} x (- 3 y^{2})$

단계 5.10.2.3

$2$ 를 $1$ 에 더합니다.

$2 e^{- x^{2} - y^{2}} x + 2 e^{- x^{2} - y^{2}} x^{3} \cdot - 1 + 2 e^{- x^{2} - y^{2}} x (- 3 y^{2})$

단계 5.10.3

$- 3$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$2 e^{- x^{2} - y^{2}} x + 2 e^{- x^{2} - y^{2}} x^{3} \cdot - 1 - 6 e^{- x^{2} - y^{2}} x y^{2}$

단계 5.11

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$2 e^{- x^{2} - y^{2}} x - 2 e^{- x^{2} - y^{2}} x^{3} - 6 e^{- x^{2} - y^{2}} x y^{2}$

단계 5.12

$2 e^{- x^{2} - y^{2}} x - 2 e^{- x^{2} - y^{2}} x^{3} - 6 e^{- x^{2} - y^{2}} x y^{2}$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$2 x e^{- x^{2} - y^{2}} - 2 x^{3} e^{- x^{2} - y^{2}} - 6 x y^{2} e^{- x^{2} - y^{2}}$