미적분 예제

$\frac{e^{5 x}}{x^{15}}$

단계 1

$f (x) = e^{5 x}$ , $g (x) = x^{15}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 는 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ 이라는 몫의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{x^{15} \frac{d}{d x} [e^{5 x}] - e^{5 x} \frac{d}{d x} [x^{15}]}{{(x^{15})}^{2}}$

단계 2

${(x^{15})}^{2}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 2.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\frac{x^{15} \frac{d}{d x} [e^{5 x}] - e^{5 x} \frac{d}{d x} [x^{15}]}{x^{15 \cdot 2}}$

단계 2.2

$15$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{x^{15} \frac{d}{d x} [e^{5 x}] - e^{5 x} \frac{d}{d x} [x^{15}]}{x^{30}}$

단계 3

$f (x) = e^{x}$ , $g (x) = 5 x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 3.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $5 x$ 로 바꿉니다.

$\frac{x^{15} (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [5 x]) - e^{5 x} \frac{d}{d x} [x^{15}]}{x^{30}}$

단계 3.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 은 $a^{u} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{x^{15} (e^{u} \frac{d}{d x} [5 x]) - e^{5 x} \frac{d}{d x} [x^{15}]}{x^{30}}$

단계 3.3

$u$ 를 모두 $5 x$ 로 바꿉니다.

$\frac{x^{15} (e^{5 x} \frac{d}{d x} [5 x]) - e^{5 x} \frac{d}{d x} [x^{15}]}{x^{30}}$

단계 4

미분합니다.

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단계 4.1

$5$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $5 x$ 의 미분은 $5 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$\frac{x^{15} (e^{5 x} (5 \frac{d}{d x} [x])) - e^{5 x} \frac{d}{d x} [x^{15}]}{x^{30}}$

단계 4.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{x^{15} (e^{5 x} (5 \cdot 1)) - e^{5 x} \frac{d}{d x} [x^{15}]}{x^{30}}$

단계 4.3

식을 간단히 합니다.

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단계 4.3.1

$5$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{x^{15} (e^{5 x} \cdot 5) - e^{5 x} \frac{d}{d x} [x^{15}]}{x^{30}}$

단계 4.3.2

$e^{5 x}$ 의 왼쪽으로 $5$ 이동하기

$\frac{x^{15} (5 \cdot e^{5 x}) - e^{5 x} \frac{d}{d x} [x^{15}]}{x^{30}}$

단계 4.4

$n = 15$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{x^{15} (5 e^{5 x}) - e^{5 x} (15 x^{14})}{x^{30}}$

단계 4.5

$15$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{x^{15} (5 e^{5 x}) - 15 e^{5 x} x^{14}}{x^{30}}$

단계 5

간단히 합니다.

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단계 5.1

분자를 간단히 합니다.

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단계 5.1.1

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$\frac{5 x^{15} e^{5 x} - 15 e^{5 x} x^{14}}{x^{30}}$

단계 5.1.2

$5 x^{15} e^{5 x} - 15 e^{5 x} x^{14}$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$\frac{5 x^{15} e^{5 x} - 15 x^{14} e^{5 x}}{x^{30}}$

단계 5.2

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{5 e^{5 x} x^{15} - 15 e^{5 x} x^{14}}{x^{30}}$

단계 5.3

$5 e^{5 x} x^{15} - 15 e^{5 x} x^{14}$ 에서 $5 e^{5 x} x^{14}$ 를 인수분해합니다.

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단계 5.3.1

$5 e^{5 x} x^{15}$ 에서 $5 e^{5 x} x^{14}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{5 e^{5 x} x^{14} (x) - 15 e^{5 x} x^{14}}{x^{30}}$

단계 5.3.2

$- 15 e^{5 x} x^{14}$ 에서 $5 e^{5 x} x^{14}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{5 e^{5 x} x^{14} (x) + 5 e^{5 x} x^{14} (- 3)}{x^{30}}$

단계 5.3.3

$5 e^{5 x} x^{14} (x) + 5 e^{5 x} x^{14} (- 3)$ 에서 $5 e^{5 x} x^{14}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{5 e^{5 x} x^{14} (x - 3)}{x^{30}}$

단계 5.4

$x^{14}$ 및 $x^{30}$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 5.4.1

$5 e^{5 x} x^{14} (x - 3)$ 에서 $x^{14}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{x^{14} (5 e^{5 x} (x - 3))}{x^{30}}$

단계 5.4.2

공약수로 약분합니다.

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단계 5.4.2.1

$x^{30}$ 에서 $x^{14}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{x^{14} (5 e^{5 x} (x - 3))}{x^{14} x^{16}}$

단계 5.4.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{x^{14} (5 e^{5 x} (x - 3))}{x^{14} x^{16}}$

단계 5.4.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{5 e^{5 x} (x - 3)}{x^{16}}$