미적분 예제

${(6 e^{2 x} - x)}^{3}$

단계 1

$f (x) = x^{3}$ , $g (x) = 6 e^{2 x} - x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{1}$ 를 $6 e^{2 x} - x$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{3}] \frac{d}{d x} [6 e^{2 x} - x]$

단계 1.2

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 는 $n {u_{1}}^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$3 {u_{1}}^{2} \frac{d}{d x} [6 e^{2 x} - x]$

단계 1.3

$u_{1}$ 를 모두 $6 e^{2 x} - x$ 로 바꿉니다.

$3 {(6 e^{2 x} - x)}^{2} \frac{d}{d x} [6 e^{2 x} - x]$

단계 2

미분합니다.

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단계 2.1

합의 법칙에 의해 $6 e^{2 x} - x$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [6 e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [- x]$ 가 됩니다.

$3 {(6 e^{2 x} - x)}^{2} (\frac{d}{d x} [6 e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [- x])$

단계 2.2

$6$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $6 e^{2 x}$ 의 미분은 $6 \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$ 입니다.

$3 {(6 e^{2 x} - x)}^{2} (6 \frac{d}{d x} [e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [- x])$

단계 3

$f (x) = e^{x}$ , $g (x) = 2 x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 3.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{2}$ 를 $2 x$ 로 바꿉니다.

$3 {(6 e^{2 x} - x)}^{2} (6 (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [- x])$

단계 3.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ 은 $a^{u_{2}} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$3 {(6 e^{2 x} - x)}^{2} (6 (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [- x])$

단계 3.3

$u_{2}$ 를 모두 $2 x$ 로 바꿉니다.

$3 {(6 e^{2 x} - x)}^{2} (6 (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [- x])$

단계 4

미분합니다.

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단계 4.1

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 x$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$3 {(6 e^{2 x} - x)}^{2} (6 e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- x])$

단계 4.2

$2$ 에 $6$ 을 곱합니다.

$3 {(6 e^{2 x} - x)}^{2} (12 e^{2 x} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x])$

단계 4.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$3 {(6 e^{2 x} - x)}^{2} (12 e^{2 x} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- x])$

단계 4.4

$12$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$3 {(6 e^{2 x} - x)}^{2} (12 e^{2 x} + \frac{d}{d x} [- x])$

단계 4.5

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- x$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$3 {(6 e^{2 x} - x)}^{2} (12 e^{2 x} - \frac{d}{d x} [x])$

단계 4.6

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$3 {(6 e^{2 x} - x)}^{2} (12 e^{2 x} - 1 \cdot 1)$

단계 4.7

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$3 {(6 e^{2 x} - x)}^{2} (12 e^{2 x} - 1)$