미적분 예제

$\frac{120 x^{2}}{x^{2} + 4}$

단계 1

$120$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $\frac{120 x^{2}}{x^{2} + 4}$ 의 미분은 $120 \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{x^{2} + 4}]$ 입니다.

$120 \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{x^{2} + 4}]$

단계 2

$f (x) = x^{2}$ , $g (x) = x^{2} + 4$ 일 때 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 는 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ 이라는 몫의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$120 \frac{(x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 4]}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

단계 3

미분합니다.

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단계 3.1

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$120 \frac{(x^{2} + 4) (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 4]}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

단계 3.2

$x^{2} + 4$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$120 \frac{2 \cdot (x^{2} + 4) x - x^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 4]}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

단계 3.3

합의 법칙에 의해 $x^{2} + 4$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$ 가 됩니다.

$120 \frac{2 (x^{2} + 4) x - x^{2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4])}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

단계 3.4

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$120 \frac{2 (x^{2} + 4) x - x^{2} (2 x + \frac{d}{d x} [4])}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

단계 3.5

$4$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $4$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $4$ 입니다.

$120 \frac{2 (x^{2} + 4) x - x^{2} (2 x + 0)}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

단계 3.6

식을 간단히 합니다.

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단계 3.6.1

$2 x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$120 \frac{2 (x^{2} + 4) x - x^{2} (2 x)}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

단계 3.6.2

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$120 \frac{2 (x^{2} + 4) x - 2 x^{2} x}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

단계 4

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$120 \frac{2 (x^{2} + 4) x - 2 (x^{1} x^{2})}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

단계 5

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$120 \frac{2 (x^{2} + 4) x - 2 x^{1 + 2}}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

단계 6

$1$ 를 $2$ 에 더합니다.

$120 \frac{2 (x^{2} + 4) x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

단계 7

$120$ 와 $\frac{2 (x^{2} + 4) x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$ 을 묶습니다.

$\frac{120 (2 (x^{2} + 4) x - 2 x^{3})}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

단계 8

간단히 합니다.

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단계 8.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{120 ((2 x^{2} + 2 \cdot 4) x - 2 x^{3})}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

단계 8.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{120 (2 x^{2} x + 2 \cdot 4 x - 2 x^{3})}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

단계 8.3

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{120 (2 x^{2} x) + 120 (2 \cdot 4 x) + 120 (- 2 x^{3})}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

단계 8.4

분자를 간단히 합니다.

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단계 8.4.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 8.4.1.1

지수를 더하여 $x^{2}$ 에 $x$ 을 곱합니다.

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단계 8.4.1.1.1

$x$ 를 옮깁니다.

$\frac{120 (2 (x \cdot x^{2})) + 120 (2 \cdot 4 x) + 120 (- 2 x^{3})}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

단계 8.4.1.1.2

$x$ 에 $x^{2}$ 을 곱합니다.

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단계 8.4.1.1.2.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{120 (2 (x^{1} x^{2})) + 120 (2 \cdot 4 x) + 120 (- 2 x^{3})}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

단계 8.4.1.1.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{120 (2 x^{1 + 2}) + 120 (2 \cdot 4 x) + 120 (- 2 x^{3})}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

단계 8.4.1.1.3

$1$ 를 $2$ 에 더합니다.

$\frac{120 (2 x^{3}) + 120 (2 \cdot 4 x) + 120 (- 2 x^{3})}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

단계 8.4.1.2

$2$ 에 $120$ 을 곱합니다.

$\frac{240 x^{3} + 120 (2 \cdot 4 x) + 120 (- 2 x^{3})}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

단계 8.4.1.3

$2$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$\frac{240 x^{3} + 120 (8 x) + 120 (- 2 x^{3})}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

단계 8.4.1.4

$8$ 에 $120$ 을 곱합니다.

$\frac{240 x^{3} + 960 x + 120 (- 2 x^{3})}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

단계 8.4.1.5

$- 2$ 에 $120$ 을 곱합니다.

$\frac{240 x^{3} + 960 x - 240 x^{3}}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

단계 8.4.2

$240 x^{3} + 960 x - 240 x^{3}$ 의 반대 항을 묶습니다.

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단계 8.4.2.1

$240 x^{3}$ 에서 $240 x^{3}$ 을 뺍니다.

$\frac{960 x + 0}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

단계 8.4.2.2

$960 x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{960 x}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$