미적분 예제

$\frac{1}{x^{2} + 9}$

단계 1

$\frac{1}{x^{2} + 9}$ 을 ${(x^{2} + 9)}^{- 1}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{d}{d x} [{(x^{2} + 9)}^{- 1}]$

단계 2

$f (x) = x^{- 1}$ , $g (x) = x^{2} + 9$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $x^{2} + 9$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 9]$

단계 2.2

$n = - 1$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 9]$

단계 2.3

$u$ 를 모두 $x^{2} + 9$ 로 바꿉니다.

$- {(x^{2} + 9)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 9]$

단계 3

미분합니다.

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단계 3.1

합의 법칙에 의해 $x^{2} + 9$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$ 가 됩니다.

$- {(x^{2} + 9)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [9])$

단계 3.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- {(x^{2} + 9)}^{- 2} (2 x + \frac{d}{d x} [9])$

단계 3.3

$9$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $9$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $9$ 입니다.

$- {(x^{2} + 9)}^{- 2} (2 x + 0)$

단계 3.4

식을 간단히 합니다.

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단계 3.4.1

$2 x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$- {(x^{2} + 9)}^{- 2} (2 x)$

단계 3.4.2

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$- 2 {(x^{2} + 9)}^{- 2} x$

단계 4

간단히 합니다.

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단계 4.1

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$- 2 \frac{1}{{(x^{2} + 9)}^{2}} x$

단계 4.2

항을 묶습니다.

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단계 4.2.1

$- 2$ 와 $\frac{1}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$ 을 묶습니다.

$\frac{- 2}{{(x^{2} + 9)}^{2}} x$

단계 4.2.2

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{2}{{(x^{2} + 9)}^{2}} x$

단계 4.2.3

$x$ 와 $\frac{2}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$ 을 묶습니다.

$- \frac{x \cdot 2}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$

단계 4.2.4

$x$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$- \frac{2 x}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$