미적분 예제

$\frac{1}{1 + e^{x}}$

단계 1

$\frac{1}{1 + e^{x}}$ 을 ${(1 + e^{x})}^{- 1}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{d}{d x} [{(1 + e^{x})}^{- 1}]$

단계 2

$f (x) = x^{- 1}$ , $g (x) = 1 + e^{x}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $1 + e^{x}$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [1 + e^{x}]$

단계 2.2

$n = - 1$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- u^{- 2} \frac{d}{d x} [1 + e^{x}]$

단계 2.3

$u$ 를 모두 $1 + e^{x}$ 로 바꿉니다.

$- {(1 + e^{x})}^{- 2} \frac{d}{d x} [1 + e^{x}]$

단계 3

미분합니다.

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단계 3.1

합의 법칙에 의해 $1 + e^{x}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$ 가 됩니다.

$- {(1 + e^{x})}^{- 2} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [e^{x}])$

단계 3.2

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$- {(1 + e^{x})}^{- 2} (0 + \frac{d}{d x} [e^{x}])$

단계 3.3

$0$ 를 $\frac{d}{d x} [e^{x}]$ 에 더합니다.

$- {(1 + e^{x})}^{- 2} \frac{d}{d x} [e^{x}]$

단계 4

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 은 $a^{x} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- {(1 + e^{x})}^{- 2} e^{x}$

단계 5

간단히 합니다.

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단계 5.1

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$- \frac{1}{{(1 + e^{x})}^{2}} e^{x}$

단계 5.2

$e^{x}$ 와 $\frac{1}{{(1 + e^{x})}^{2}}$ 을 묶습니다.

$- \frac{e^{x}}{{(1 + e^{x})}^{2}}$