미적분 예제

$| x | \cdot 60 + | x - 10 | \cdot 50 + | 30 - 2 x | \cdot 60$

단계 1

합의 법칙에 의해 $| x | \cdot 60 + | x - 10 | \cdot 50 + | 30 - 2 x | \cdot 60$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [| x | \cdot 60] + \frac{d}{d x} [| x - 10 | \cdot 50] + \frac{d}{d x} [| 30 - 2 x | \cdot 60]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [| x | \cdot 60] + \frac{d}{d x} [| x - 10 | \cdot 50] + \frac{d}{d x} [| 30 - 2 x | \cdot 60]$

단계 2

$\frac{d}{d x} [| x | \cdot 60]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

$| x |$ 의 왼쪽으로 $60$ 이동하기

$\frac{d}{d x} [60 \cdot | x |] + \frac{d}{d x} [| x - 10 | \cdot 50] + \frac{d}{d x} [| 30 - 2 x | \cdot 60]$

단계 2.2

$60$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $60 | x |$ 의 미분은 $60 \frac{d}{d x} [| x |]$ 입니다.

$60 \frac{d}{d x} [| x |] + \frac{d}{d x} [| x - 10 | \cdot 50] + \frac{d}{d x} [| 30 - 2 x | \cdot 60]$

단계 2.3

$| x |$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{x}{| x |}$ 입니다.

$60 \frac{x}{| x |} + \frac{d}{d x} [| x - 10 | \cdot 50] + \frac{d}{d x} [| 30 - 2 x | \cdot 60]$

단계 2.4

$60$ 와 $\frac{x}{| x |}$ 을 묶습니다.

$\frac{60 x}{| x |} + \frac{d}{d x} [| x - 10 | \cdot 50] + \frac{d}{d x} [| 30 - 2 x | \cdot 60]$

단계 3

$\frac{d}{d x} [| x - 10 | \cdot 50]$ 의 값을 구합니다.

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단계 3.1

$| x - 10 |$ 의 왼쪽으로 $50$ 이동하기

$\frac{60 x}{| x |} + \frac{d}{d x} [50 \cdot | x - 10 |] + \frac{d}{d x} [| 30 - 2 x | \cdot 60]$

단계 3.2

$50$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $50 | x - 10 |$ 의 미분은 $50 \frac{d}{d x} [| x - 10 |]$ 입니다.

$\frac{60 x}{| x |} + 50 \frac{d}{d x} [| x - 10 |] + \frac{d}{d x} [| 30 - 2 x | \cdot 60]$

단계 3.3

$f (x) = | x |$ , $g (x) = x - 10$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 3.3.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{1}$ 를 $x - 10$ 로 바꿉니다.

$\frac{60 x}{| x |} + 50 (\frac{d}{d u_{1}} [| u_{1} |] \frac{d}{d x} [x - 10]) + \frac{d}{d x} [| 30 - 2 x | \cdot 60]$

단계 3.3.2

$| u_{1} |$ 를 $u_{1}$ 에 대해 미분하면 $\frac{u_{1}}{| u_{1} |}$ 입니다.

$\frac{60 x}{| x |} + 50 (\frac{u_{1}}{| u_{1} |} \frac{d}{d x} [x - 10]) + \frac{d}{d x} [| 30 - 2 x | \cdot 60]$

단계 3.3.3

$u_{1}$ 를 모두 $x - 10$ 로 바꿉니다.

$\frac{60 x}{| x |} + 50 (\frac{x - 10}{| x - 10 |} \frac{d}{d x} [x - 10]) + \frac{d}{d x} [| 30 - 2 x | \cdot 60]$

단계 3.4

합의 법칙에 의해 $x - 10$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 10]$ 가 됩니다.

$\frac{60 x}{| x |} + 50 (\frac{x - 10}{| x - 10 |} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 10])) + \frac{d}{d x} [| 30 - 2 x | \cdot 60]$

단계 3.5

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{60 x}{| x |} + 50 (\frac{x - 10}{| x - 10 |} (1 + \frac{d}{d x} [- 10])) + \frac{d}{d x} [| 30 - 2 x | \cdot 60]$

단계 3.6

$- 10$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 10$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 10$ 입니다.

$\frac{60 x}{| x |} + 50 (\frac{x - 10}{| x - 10 |} (1 + 0)) + \frac{d}{d x} [| 30 - 2 x | \cdot 60]$

단계 3.7

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{60 x}{| x |} + 50 (\frac{x - 10}{| x - 10 |} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [| 30 - 2 x | \cdot 60]$

단계 3.8

$\frac{x - 10}{| x - 10 |}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{60 x}{| x |} + 50 \frac{x - 10}{| x - 10 |} + \frac{d}{d x} [| 30 - 2 x | \cdot 60]$

단계 3.9

$50$ 와 $\frac{x - 10}{| x - 10 |}$ 을 묶습니다.

$\frac{60 x}{| x |} + \frac{50 (x - 10)}{| x - 10 |} + \frac{d}{d x} [| 30 - 2 x | \cdot 60]$

단계 4

$\frac{d}{d x} [| 30 - 2 x | \cdot 60]$ 의 값을 구합니다.

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단계 4.1

$| 30 - 2 x |$ 의 왼쪽으로 $60$ 이동하기

$\frac{60 x}{| x |} + \frac{50 (x - 10)}{| x - 10 |} + \frac{d}{d x} [60 \cdot | 30 - 2 x |]$

단계 4.2

$60$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $60 | 30 - 2 x |$ 의 미분은 $60 \frac{d}{d x} [| 30 - 2 x |]$ 입니다.

$\frac{60 x}{| x |} + \frac{50 (x - 10)}{| x - 10 |} + 60 \frac{d}{d x} [| 30 - 2 x |]$

단계 4.3

$f (x) = | x |$ , $g (x) = 30 - 2 x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 4.3.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{2}$ 를 $30 - 2 x$ 로 바꿉니다.

$\frac{60 x}{| x |} + \frac{50 (x - 10)}{| x - 10 |} + 60 (\frac{d}{d u_{2}} [| u_{2} |] \frac{d}{d x} [30 - 2 x])$

단계 4.3.2

$| u_{2} |$ 를 $u_{2}$ 에 대해 미분하면 $\frac{u_{2}}{| u_{2} |}$ 입니다.

$\frac{60 x}{| x |} + \frac{50 (x - 10)}{| x - 10 |} + 60 (\frac{u_{2}}{| u_{2} |} \frac{d}{d x} [30 - 2 x])$

단계 4.3.3

$u_{2}$ 를 모두 $30 - 2 x$ 로 바꿉니다.

$\frac{60 x}{| x |} + \frac{50 (x - 10)}{| x - 10 |} + 60 (\frac{30 - 2 x}{| 30 - 2 x |} \frac{d}{d x} [30 - 2 x])$

단계 4.4

합의 법칙에 의해 $30 - 2 x$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [30] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ 가 됩니다.

$\frac{60 x}{| x |} + \frac{50 (x - 10)}{| x - 10 |} + 60 (\frac{30 - 2 x}{| 30 - 2 x |} (\frac{d}{d x} [30] + \frac{d}{d x} [- 2 x]))$

단계 4.5

$30$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $30$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $30$ 입니다.

$\frac{60 x}{| x |} + \frac{50 (x - 10)}{| x - 10 |} + 60 (\frac{30 - 2 x}{| 30 - 2 x |} (0 + \frac{d}{d x} [- 2 x]))$

단계 4.6

$- 2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 2 x$ 의 미분은 $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$\frac{60 x}{| x |} + \frac{50 (x - 10)}{| x - 10 |} + 60 (\frac{30 - 2 x}{| 30 - 2 x |} (0 - 2 \frac{d}{d x} [x]))$

단계 4.7

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{60 x}{| x |} + \frac{50 (x - 10)}{| x - 10 |} + 60 (\frac{30 - 2 x}{| 30 - 2 x |} (0 - 2 \cdot 1))$

단계 4.8

$- 2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{60 x}{| x |} + \frac{50 (x - 10)}{| x - 10 |} + 60 (\frac{30 - 2 x}{| 30 - 2 x |} (0 - 2))$

단계 4.9

$0$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$\frac{60 x}{| x |} + \frac{50 (x - 10)}{| x - 10 |} + 60 (\frac{30 - 2 x}{| 30 - 2 x |} \cdot - 2)$

단계 4.10

$\frac{30 - 2 x}{| 30 - 2 x |}$ 와 $- 2$ 을 묶습니다.

$\frac{60 x}{| x |} + \frac{50 (x - 10)}{| x - 10 |} + 60 \frac{(30 - 2 x) \cdot - 2}{| 30 - 2 x |}$

단계 4.11

$30 - 2 x$ 의 왼쪽으로 $- 2$ 이동하기

$\frac{60 x}{| x |} + \frac{50 (x - 10)}{| x - 10 |} + 60 \frac{- 2 \cdot (30 - 2 x)}{| 30 - 2 x |}$

단계 4.12

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{60 x}{| x |} + \frac{50 (x - 10)}{| x - 10 |} + 60 (- \frac{2 (30 - 2 x)}{| 30 - 2 x |})$

단계 4.13

$- 1$ 에 $60$ 을 곱합니다.

$\frac{60 x}{| x |} + \frac{50 (x - 10)}{| x - 10 |} - 60 \frac{2 (30 - 2 x)}{| 30 - 2 x |}$

단계 4.14

$- 60$ 와 $\frac{2 (30 - 2 x)}{| 30 - 2 x |}$ 을 묶습니다.

$\frac{60 x}{| x |} + \frac{50 (x - 10)}{| x - 10 |} + \frac{- 60 (2 (30 - 2 x))}{| 30 - 2 x |}$

단계 4.15

$2$ 에 $- 60$ 을 곱합니다.

$\frac{60 x}{| x |} + \frac{50 (x - 10)}{| x - 10 |} + \frac{- 120 (30 - 2 x)}{| 30 - 2 x |}$

단계 4.16

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{60 x}{| x |} + \frac{50 (x - 10)}{| x - 10 |} - \frac{120 (30 - 2 x)}{| 30 - 2 x |}$

단계 5

간단히 합니다.

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단계 5.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{60 x}{| x |} + \frac{50 x + 50 \cdot - 10}{| x - 10 |} - \frac{120 (30 - 2 x)}{| 30 - 2 x |}$

단계 5.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{60 x}{| x |} + \frac{50 x + 50 \cdot - 10}{| x - 10 |} - \frac{120 \cdot 30 + 120 (- 2 x)}{| 30 - 2 x |}$

단계 5.3

항을 묶습니다.

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단계 5.3.1

$50$ 에 $- 10$ 을 곱합니다.

$\frac{60 x}{| x |} + \frac{50 x - 500}{| x - 10 |} - \frac{120 \cdot 30 + 120 (- 2 x)}{| 30 - 2 x |}$

단계 5.3.2

$120$ 에 $30$ 을 곱합니다.

$\frac{60 x}{| x |} + \frac{50 x - 500}{| x - 10 |} - \frac{3600 + 120 (- 2 x)}{| 30 - 2 x |}$

단계 5.3.3

$- 2$ 에 $120$ 을 곱합니다.

$\frac{60 x}{| x |} + \frac{50 x - 500}{| x - 10 |} - \frac{3600 - 240 x}{| 30 - 2 x |}$